Top 14 최상위 라이트 1 2 답지 The 5 Top Answers

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최상위와 최상위라이트의 난이도 비교!!

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황지니 :: 최상위 수학 라이트 중1-2 답지 [2020용]

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최상위수학 라이트 중1-2 답지 (2020)

어제 문득 생각이 들었습니다. 제 기준에는 꽤 괜찮은 삶을 살고 있습니다. 그렇게 비싼 아파트는 아니지만 제 나이 또래에서는 비싼 아파트에 살고 있습니다. 물론 제 집은 아니지만요. 이런 집에 살기 위해서는 아파트 주민과 비슷한 퀄리티를 갖추어야 합니다. 그렇지 않아도 상관은 없지만 멋진 사람을 배우고 싶습니다. 중국이 이만큼 성장할 수 있었던 동력이 무엇인지 아십니까. 바로 모방입니다. 일단 길을 잘 모르겠으면 성공한 사람을 따라 살아야 합니다. 아래에 최상위 수학 라이트 중 1-2 답지가 있습니다.

운동을 하게 된 계기가 바로 비싼 아파트에 사는 만큼 그 만큼의 퀄티리를 갖춘 사람이 되기 위함입니다. 어떤 생각이든 내가 운동을 하는데 동기부여가 된다면 그것 만으로도 성공한 것이 아닐까 싶습니다. 학생 여러분들도 자신에게 채찍질 할 수 있는 어떤 목표를 설정하면 아주 좋습니다. 그래서 선의의 경쟁자가 있으면 좋다고 말하는 것이죠.

위를 보면 최상위수학 라이트 중1-2 답지가 있습니다. 운동을 하고 나니까 확실히 활기가 생깁니다. 자신감도 생기고요. 그냥 운동을 하지 않고 기운이 없는 상태로 집에서 쉬기만 할때는 이런 느낌을 받지 못했습니다. 역시 사람은 공부를 하고 뇌를 사용하고 몸을 사용해야 살아 있음을 느낍니다. 답지를 보는 학생도 공부를 하는데 도움이되도록 답지를 활용하시기 바랍니다.

최상위수학 라이트 중학 1 – 2 답지 (2019)

최

상

위

수

학

중 1

2

정

답

과

풀

이

Light

라이트

I 도형의 기초

1

기본 도형

주제별 실력다지기

본문 8~21쪽

③

18개

④

105ù

④

④

⑤

③

④

⑴ 6개 ⑵ 8개 ⑶ 12개 ③

④

27`cm

100ù

②, ④

②

②

②

ㄴ, ㄷ

⑤

④

20ù

②

⑤

④

③

②

40ù

③

①

32ù

⑤

④, ⑤

4`cm

40ù

③

55ù

④

④

④

⑤

⑤

①

④

76ù

③, ⑤

ㄱ, ㄷ

∠x=48ù, ∠y=67ù

④

③

50ù

90ù

②

④

68ù

③

2`cm

45ù

②

④

50ù

50ù

③

②, ⑤

l과 m, p와 q

③ 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이다.

따라서 구하는 반직선의 개수는

2_1+8_2=18(개)

⑴ 면의 개수는 6개이다.

⑵ 교점의 개수는 8개이다.

⑶ 교선의 개수는 12개이다.

③ 방향과 시작점이 모두 같아야 같은 반직선이다.

④ 시작점은 같지만 방향이 같지 않으므로

BA³+BD³

DB³와 시작점과 방향이 같은 것은 ④ DA³와 ⑤ DC³

이다.

다.

ㄴ. AD³와 BD³는 시작점이 다르므로 서로 같지 않

ㄷ. ACÓ와 CBÓ는 서로 다른 선분이다.

ㅁ. CEÓ

³와 EC³는 시작점과 방향이 모두 다르므로 서

로 같지 않다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅂ이다.

오른쪽 그림과 같이 AB³와 CA³의 공 (cid:77)

통 부분은 ACÓ 또는 CAÓ이다.

(cid:34)

(cid:35)

(cid:36)

(cid:37)

ㄱ. AB³는 BÕA³와 공통 부분으로 ABÓ를 가질 뿐 서로

를 포함하지는 않는다.

ㄹ. BC³와 CA³의 공통 부분은 BCÓ이다.

① ABÓ와 BCÓ의 공통 부분은 점 B이다.

② ACÓ와 BDÓ의 공통 부분은 BCÓ이다.

④ CD³와 DC³를 합한 도형은 직선 l이다.

⑤ AD³와 BCê의 공통 부분은 AÕ

ÕD³이다.

AMÓ=

;2!;

ABÓ=

_48=24(cm)

;2!;

∴ MNÓ=

AMÓ=

_24=12(cm)

;2!;

;2!;

BCÓ=x`cm라 하면 ABÓ=4BCÓ=4x이므로

ACÓ=ABÓ+BCÓ=4x+x=5x에서

ABê, ACê, ADê, BCê, BDê, CDê의 6개이다.

5x=10 ∴ x=2

다음 그림과 같이 직선 l 위의 10개의 점을 A, B,

C, …`, I, J로 놓으면

(cid:34)

(cid:35)

(cid:36)

(cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15)

(cid:42)

(cid:43)

(cid:77)

점 A와 `J를 시작점으로 하는 반직선은 각각 1개, 점

B, C, D, E, F, G, H, I를 시작점으로 하는 반직선

은 양쪽 방향으로 각각 2개씩 존재한다.

∴ BMÓ=

ABÓ=

_4x=2x=2_2=4(cm)

;2!;

;2!;

다른 풀이 ACÓ=ABÓ+BCÓ

=4BCÓ+BCÓ=5BCÓ=10(cm)

∴ BCÓ=2`cm

BCÓ=2`cm이므로 ABÓ=4BCÓ=4_2=8(cm)

∴ BMÓ=

ABÓ=

_8=4(cm)

;2!;

;2!;

2 정답과 해설

CDÓ=x`cm라 하면 BDÓ=3CDÓ=3x이므로

또, CDÓ=3DEÓ에서 DEÓ=

`CDÓ이므로

;3!;

ADÓ=3BDÓ=3_3x=9x에서 9x=18 ∴ x=2

∴ ACÓ=ADÓ-CDÓ

=9x-x=8x=8_2=16(cm)

다른 풀이 BDÓ=

ADÓ=

_18=6(cm)

;3!;

;3!;

CDÓ=

BDÓ=

_6=2(cm)

;3!;

;3!;

∴ ACÓ=ADÓ-CDÓ=18-2=16(cm)

NCÓ=x`cm라 하면 BCÓ=2NCÓ=2x이므로

ABÓ`:`BCÓ=3:1에서 ABÓ=3BCÓ=3_2x=6x

MBÓ=

ABÓ=

_6x=3x에서

;2!;

;2!;

3x=6 ∴ x=2

∴ BNÓ=

BCÓ=

_2x=x=2(cm)

;2!;

;2!;

다른 풀이 AMÓ=MBÓ=6(cm)이므로 ABÓ=12`cm

ABÓ`:`BCÓ=3`:`1이므로`

BCÓ=

ABÓ=

_12=4(cm)

;3!;

;3!;

∴ BNÓ=

`BCÓ=

_4=2(cm)

;2!;

;2!;

AMÓ=x`cm라 하면

ABÓ=2AMÓ=2x, BCÓ=4ABÓ=4_2x=8x이므로

MNÓ=MBÓ+BNÓ=

ABÓ+

BCÓ

;2!;

;2!;

;2!;

=5x

=

_2x+

_8x

;2!;

에서 5x=10 ∴ x=2

∴ ABÓ=2x=2_2=4(cm)

다른 풀이 AMÓ=MBÓ, BNÓ=NCÓ이므로

ACÓ=ABÓ+BCÓ=2MBÓ+2BNÓ

=2(MBÓ+BNÓ)=2MNÓ=2_10=20(cm)

이때 ABÓ=

BCÓ, 즉` BCÓ=4ABÓ이므로

;4!;

ACÓ=ABÓ+BCÓ=ABÓ+4ABÓ=5ABÓ

∴ ABÓ=

ACÓ=

_20=4(cm)

;5!;

;5!;

오른쪽 그림에서

ABÓ=x`cm라 하면

BCÓ=3ABÓ=3x(cm),

(cid:20)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:34) (cid:35)

(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:36)

(cid:20)(cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:37)

(cid:9)(cid:20)(cid:23)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:38)

ACÓ=ABÓ+BCÓ=4x(cm)이므로

CEÓ=36-4x(cm)

CEÓ=CDÓ+DEÓ=CDÓ+

`CDÓ=

`CDÓ

;3!;

;3$;

∴ CDÓ=

_CEÓ=

_(36-4x)=27-3x(cm)

;4#;

;4#;

∴ BDÓ=BCÓ+CDÓ=3x+(27-3x)=27(cm)

⑤ 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므

로 그 합이 180ù인 경우는 90ù인

경우뿐이다.

둔각은 90ù보다 크고 180ù보다 작은 각이므로 91ù,

150ù의 2개이다.

평각의 크기는 `180ù이므로

(2∠x+10ù)+(2∠x-30ù)=180ù

4∠x=200ù ∴ ∠x=50ù

∠AOB`:`∠BOD=1`:`5이므로

∠BOD=180ù_

=150ù

5

1+5

∠BOD =∠BOC+∠COD

=2∠x+(∠x+30ù)=150ù

3∠x=120ù ∴ ∠x=40ù

∠BOC=

;3$;

_42ù=56ù이므로

∠AOB=180ù-(42ù+56ù)=82ù

∠AOB=

;4#;∠AOC이므로 ∠BOC=

;4!;∠AOC

∴ ∠BOD=∠BOC+∠COD

=

;4!;∠AOC+

;4!;∠COE

=

;4!;

(∠AOC+∠COE)

=

;4!;∠AOE=

;4!;

_180ù=45ù

I 도형의 기초 3

시침은 1시간에 30ù를 움직이므로 1분에 0.5ù씩 움

직인다. 또, 분침은 1시간에 360ù를 움직이므로 1분

맞꼭지각의 크기는 서로 같

고, 평각의 크기는 180ù이

(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)

(cid:89)

따라서 12시를 기준으로 9시 30분을 가리킬 때까지

2∠x+(∠x+20ù)+∠x

(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

므로

=180ù

4∠x=160ù ∴ ∠x=40ù

에 6ù씩 움직인다.

시침이 움직인 각의 크기는

30ù_9+0.5ù_30=285ù

분침이 움직인 각의 크기는

6ù_30=180ù

따라서 구하는 각의 크기는

285ù-180ù=105ù

다른 풀이 공식에 의해 x=9, y=30이므로

(구하는 각의 크기)=|30ùx-5.5ùy|

=|30ù_9-5.5ù_30|=105ù

∠y=180ù-(2∠x+40ù)=180ù-140ù=40ù

맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로

3∠x-10ù=2∠x+40ù `

∴ ∠x=50ù

평각의 크기는 180ù이므로

∴ ∠x+∠y=50ù+40ù=90ù

시침은 1분에

=0.5ù씩, 분침은 1분에

=6ù

기는 서로 같고, 평각의 크기는

30ù

60

360ù

60

오른쪽 그림에서 맞꼭지각의 크

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

씩 움직이므로 시침이 12를 가리킬 때부터 7시 20분

까지 움직인 각의 크기는 30ù_7+0.5ù_20=220ù

이고, 분침이 12를 가리킬 때부터 7시 20분까지 움

180ù이므로

∠x+(2∠x-35ù)

+(∠x+10ù)+(∠x+15ù)

직인 각의 크기는 6ù_20=120ù이다.

=180ù

따라서 두 바늘이 이루는 각 중 작은 쪽의 각의 크기

5∠x=190ù ∴ ∠x=38ù

는

(시침이 움직인 각의 크기)

=220ù-120ù=100ù

다른 풀이 공식에 의해 x=7, y=20이므로

-(분침이 움직인 각의 크기)

① ∠AOE =∠AOH-∠EOH

=90ù-(90ù-∠DOH)

=∠DOH=25ù

(구하는 각의 크기)=|30ùx-5.5ùy|

② ∠FOG =∠EOH=90ù-25ù=65ù

=|30ù_7-5.5ù_20|=100ù

③ ∠BOC=∠AOD=90ù+25ù=115ù

④ ∠EOH=∠BOD=90ù-25ù=65ù

⑤ ∠AOF=180ù-∠AOE=180ù-25ù=155ù

오른쪽 그림에서

6∠x+(70ù-2∠x)

+(50ù-∠x)

=180ù

(cid:24)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:19)(cid:89)

(cid:23)(cid:89)

(cid:24)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:19)(cid:89)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)(cid:14)(cid:89)

(cid:90)

이므로 3∠x=60ù ∴ ∠x=20ù

또, 6∠x=90ù+∠y`(맞꼭지각)이므로 `

한 개의 각으로 생기는 맞꼭지

각은 3쌍이고, 두 개의 각이 합

쳐져서 생기는 맞꼭지각은` 3쌍

이므로 모두 6쌍의 맞꼭지각이

생긴다.

다른 풀이 n개의 서로 다른 직선이 한 점에서 만날

6_20ù=90ù+∠y

때 생기는 맞꼭지각은 n(n-1)쌍이다.

∴ 3_(3-1)=6(쌍)

∴ ∠y=120ù-90ù=30ù

∴ ∠x+∠y=20ù+30ù=50ù

4 정답과 해설

④ 점 C와 ABê 사이의 거리는 CHÓ이다.

① 점 B와 변 AD 사이의 거리는 6`cm이다.

③ 점 C에서 변 AD에 내린 수선의 발은 표시되어

=180ù

오른쪽 그림에서 lm이므

로 동위각의 크기가 같다.

(∠x+10ù)+(4∠x+5ù)

5∠x=165ù ∴ ∠x=33ù

(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:22)(cid:177)

∴ ∠COD=

;3!;∠COE=

;3!;

_60ù=20ù

∠x+4∠y=193ù

있지 않다.

⑤ ADÓ와 CDÓ는 수직이 아니다.

∠AOB=∠BOE=90ù이고

∠AOB`:`∠BOC=3`:`1이므로

∠BOC=

;3!;∠AOB=

∠COE=90ù-∠BOC=90ù-30ù=60ù

_90ù=30ù

;3!;

∠BOE+∠DOE=∠BOD=7∠DOE이므로

6∠DOE=∠BOE

∴ ∠DOE=

;6!;∠BOE=

∠AOD=∠AOE-∠DOE=90ù-15ù=75ù

_90ù=15ù

;6!;

이때 ∠AOD=5∠COD에서

∠COD=

;5!;∠AOD=

;5!;

_75ù=15ù

∴ ∠COE=∠COD+∠DOE=15ù+15ù=30ù

∠f 의 동위각은 ∠b, 엇각은 ∠d이다.

오른쪽 그림에서

① ∠a의 동위각의 크기는

∠d=116ù`(맞꼭지각)이다.

(cid:18)(cid:18)(cid:23)(cid:177)

(cid:70)

(cid:68)

(cid:69)

(cid:67)

(cid:66)

(cid:18)(cid:20)(cid:18)(cid:177)

② ∠a의 엇각의 크기는` 116ù이다.

④ ∠b의 엇각의 크기는 ∠c=131ù`(맞꼭지각)이다.

⑤ ∠c의 동위각의 크기는 ∠e=180ù-116ù=64ù

이다.

ㄴ. ∠b와 ∠i 는 동위각이다.

ㄹ. ∠f 와 ∠j가 동위각이다.

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

오른쪽 그림에서

(4∠y-25ù)+∠y=180ù

5∠y=205ù

∴ ∠y=41ù

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:19)(cid:177)

(cid:21)(cid:90)(cid:14)(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:90)

(cid:21)(cid:90)(cid:14)(cid:19)(cid:22)(cid:177)

또, (∠x+12ù)+(4∠y-25ù)=180ù이므로

이때 ∠y=41ù이므로 ∠x+4_41ù=193ù

∴ ∠x=193ù-164ù=29ù

∴ ∠x+∠y=29ù+41ù=70ù

∠ECD=∠ABE=32ù`(엇각)이므로

∠CED=180ù-(32ù+50ù)=98ù

∴ ∠x =180ù-98ù=82ù

오른쪽 그림에서 평각의 크기

는 180ù이고 lm이므로 동

위각의 크기가 같다.

(cid:90)

(cid:22)(cid:20)(cid:177)

(cid:89)

(cid:23)(cid:25)(cid:177)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:22)(cid:20)(cid:177)

(cid:89)

∠x=180ù-(68ù+53ù)=59ù

이때 ∠x=∠y`(맞꼭지각)이므로

∠x+∠y =59ù+59ù=118ù

오른쪽 그림에서

∠x=180ù-132ù=48ù

(cid:21)(cid:25)(cid:177)

(cid:90)

(cid:89)

(cid:77)

(cid:23)(cid:22)(cid:177)

(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

삼각형의 세 내각의 크기의

(cid:18)(cid:20)(cid:19)(cid:177)

(cid:21)(cid:25)(cid:177)

합은 180ù이므로

∠y+48ù+65ù=180ù

∴ ∠y=67ù

오른쪽 그림에서 평각의 크기는

(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:25)(cid:177)

오른쪽 그림에서 ab이므로

(cid:77)

(cid:78)

180ù이고 lm이므로 동위각

의 크기가 같다.

(4∠x+26ù)+(2∠x+28ù)

(cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:23)(cid:177)

=180ù

6∠x=126ù ∴ ∠x=21ù

(cid:77)

(cid:78)

∠x=73ù`(엇각)

lm이므로

∠x+∠y=180ù

∴ ∠y=180ù-73ù=107ù

∴ ∠y-∠x=107ù-73ù=34ù

(cid:24)(cid:20)(cid:177)

(cid:89)

(cid:89)

(cid:90)

I 도형의 기초 5

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:78)

(cid:66)

(cid:67)

오른쪽 그림에서

∠EAB=∠ABD`(엇각)

이므로

(cid:36)

(cid:34)(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:38)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:35)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:37)

∠CAB`:`∠EAB=7`:`2

∴ ∠CAB=180ù_

=140ù,

;9&;

∠ABD=∠EAB=180ù-140ù=40ù

이때 ∠CAD=∠BAD, ∠ABC=∠DBC이므로

∠CAD=

;2!;∠CAB=

;2!;

_140ù=70ù,

∠CBD=

;2!;∠ABD=

;2!;

_40ù=20ù

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 직선을 그으

면

(2∠x-35ù)+40ù

=∠x+60ù

∴ ∠x=55ù

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:78)

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 직선을 그으면

∠x+62ù=54ù+(2∠x-20ù)

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)(cid:12)(cid:23)(cid:19)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:78)

따라서 ∠ADB=∠CAD=70ù`(엇각),

∴ ∠x=28ù

∠ACB=∠CBD=20ù`(엇각)이므로

∠ADB-∠ACB=70ù-20ù=50ù

⑤ lm이면 ∠d=∠h`(동위각)이고,

∠h=∠ f`(맞꼭지각)이므로 ∠d=∠ f 이다.

따라서 ∠d+∠f =180ù라고 할 수 없다.

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 직선을 그으

면

∠ABC=34ù+36ù=70ù

∠ABD=

;5@;∠CBD이므로

∠ABC=∠ABD+∠CBD

(cid:34)

(cid:37)

(cid:20)(cid:21)(cid:177)

(cid:20)(cid:21)(cid:177)

(cid:35)

(cid:20)(cid:23)(cid:177)

(cid:20)(cid:23)(cid:177)

(cid:36)

=

;5@;∠CBD+∠CBD=

;5&;∠CBD

∴ ∠CBD=

;7%;∠ABC=

;7%;

_70ù=50ù

② 엇각의 크기가 같으므로 lm이다.

⑤ ∠c+∠h=180ù에서 ∠c=180ù-∠h

이때 ∠h+∠g=180ù이므로 ∠g=180ù-∠h

즉, 동위각인 ∠c와 ∠g의 크기가 같으므로 lm

이다.

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 두 직선을 그

(cid:20)(cid:20)(cid:177)

으면

(cid:20)(cid:20)(cid:177)

(cid:22)(cid:18)(cid:177)

(cid:89)

(cid:25)(cid:21)(cid:177)

(cid:22)(cid:18)(cid:177)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

∠x=51ù+28ù=79ù

(cid:78)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

오른쪽 그림의 두 직선 l,

m에서 동위각의 크기가

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:23)(cid:177)

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:22)(cid:21)(cid:177)

(cid:81)

(cid:82)

같으므로` lm

(cid:77)

(cid:78) (cid:79)

두 직선 p, q에서 엇각의 크기가 같으므로 pq

④ 오른쪽 그림에서 동위각

의 크기가 같으므로`

lm이다.

(cid:20)(cid:25)(cid:177)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:19)(cid:19)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:25)(cid:177)

(cid:19)(cid:19)(cid:177)

6 정답과 해설

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 두 직선을

∠x+60ù=3∠x+20ù

그으면

2∠x=40ù

∴ ∠x=20ù

(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177) (cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:23)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 두 직선을 그

으면

(∠x-45ù)+(∠y-35ù)

=180ù

∴ ∠x+∠y=260ù

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:89) (cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:22)(cid:177)

(cid:90)

(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:77)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 두 직선을 그

으면

∠x=32ù

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:25)(cid:24)(cid:177)

(cid:19)(cid:22)(cid:177)

(cid:22)(cid:22)(cid:177)

(cid:20)(cid:19)(cid:177)

(cid:89)

오른쪽 그림에서

IFÓHEÓ이므로

∠HGA=∠IFG

=104ù`(동위각)

ADÓBCÓ이므로

(cid:41)

(cid:42)

(cid:39)

(cid:18)(cid:17)(cid:21)(cid:177)

(cid:18)(cid:17)(cid:21)(cid:177)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:40)

(cid:89)

(cid:89)

(cid:18)(cid:17)(cid:21)(cid:177)

(cid:38)

(cid:66)

(cid:18)(cid:18)(cid:22)(cid:177)

(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)

(cid:67)

(cid:68)

(cid:90)

(cid:19)(cid:24)(cid:177)

(cid:69)

(cid:25)(cid:22)(cid:177)

(cid:70)

(cid:71)

(cid:78)

∠GEB=∠HGA=104ù`(동위각)

∴ ∠GEC=180ù-104ù=76ù

이때 ∠GEF=∠FEC`(접은 각)이므로

∠x=

;2!;∠GEC=

;2!;

_76ù=38ù

(cid:77)

(cid:78)

(cid:77)

(cid:37)

(cid:36)

(cid:37)

(cid:36)

오른쪽 그림과 같이 두 직선

l, m에 평행한 직선을 그으

면

∠a=180ù-115ù=65ù

∠b=∠a=65ù`(엇각)

∠c=100ù-65ù=35ù

∠y=∠c=35ù`(엇각)

∠d=∠y=35ù`(맞꼭지각)

∠e=180ù-(35ù+85ù)=60ù

∠f =180ù-60ù=120ù

∴ ∠x=180ù-(27ù+120ù)=33ù

∴ ∠x+∠y=33ù+35ù=68ù

오른쪽 그림에서

∠GEC =∠AGE

=70ù`(엇각)

그런데 ∠GEF=∠FEC`

(접은 각)이므로

(cid:41)

(cid:42)

(cid:39)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:40)

(cid:24)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:38)

(cid:24)(cid:17)(cid:177)

∠FEC=

;2!;∠GEC=

∴ ∠x=∠FEC=35ù`(엇각)

;2!;

_70ù=35ù

오른쪽 그림에서

∠FEC=∠FEG

=∠x`(접은 각)

ADÓBCÓ이므로

(cid:41)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:40)

(cid:19)(cid:25)(cid:177)

(cid:39)

(cid:89)(cid:89)

(cid:38)

∠GEB =∠HGA=28ù`(동위각)

따라서 ∠x+∠x+28ù=180ù이므로

2∠x=152ù ∴ ∠x=76ù

(cid:37)

(cid:36)

(cid:37)

(cid:36)

오른쪽 그림에서

∠DBC=90ù-58ù=32ù

∠PBD=∠DBC

=32ù`(접은 각)

∠PDB=∠DBC

=32ù`(엇각)

이므로 △PBD에서

(cid:38)

(cid:49)

(cid:20)(cid:19)(cid:177)

(cid:22)(cid:25)(cid:177)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:20)(cid:19)(cid:177)

(cid:20)(cid:19)(cid:177)

∠BPD=180ù-(32ù+32ù)=116ù

∴ ∠APE=∠BPD=116ù`(맞꼭지각)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:89)

(cid:22)(cid:23)(cid:177)

(cid:38)

(cid:22)(cid:23)(cid:177)

(cid:37)

(cid:20)(cid:21)(cid:177)

(cid:20)(cid:21)(cid:177)

(cid:90)

(cid:36)

오른쪽 그림에서

∠FCE=∠DCE

=34ù`(접은 각)

(cid:39)

∴ ∠y =90ù-(34ù+34ù)

=22ù

또, ∠DEC=90ù-34ù=56ù이고

∠FEC=∠DEC=56ù`(접은 각)이므로

∠x=180ù-(56ù+56ù)=68ù

∴ ∠x+∠y=68ù+22ù=90ù

오른쪽 그림에서

∠FGB=∠LFG

=30ù`(엇각)

∠FGL =∠FGB

(cid:46)

(cid:43)

(cid:39)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:45) (cid:44)

(cid:25)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:17)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:40)

(cid:38)

(cid:34)

(cid:35)

(cid:42)

(cid:41)

(cid:25)(cid:17)(cid:177)

(cid:37)

(cid:36)

오른쪽 그림에서

∠DIH=∠IHE=36ù`(엇각),

∠EIH=∠DIH

(cid:34)

(cid:35)

(cid:20)(cid:23)(cid:177)

(cid:42)

(cid:89)

(cid:38)

(cid:20)(cid:23)(cid:177)

(cid:20)(cid:23)(cid:177)

(cid:37)

(cid:36)

(cid:41)

(cid:40)

=30ù`(접은 각)

또, ∠JKH =∠IHD=80ù`(동위각)이므로

∠HKG=180ù-80ù=100ù

=36ù`(접은 각)

(cid:39)

이때 ∠KGB=∠HKG=100ù`(엇각)이므로

따라서 ∠x와 ∠DIE는 엇각이므로

30ù+30ù+∠x=100ù

∠x=∠DIE=∠DIH+∠EIH=36ù+36ù=72ù

∴ ∠x=40ù

I 도형의 기초 7

(cid:190)

(cid:190)

본문 24~31쪽

2

위치 관계

주제별 실력다지기

①, ④

④

3

④

2

③, ④

ㄱ, ㄴ

④, ⑤

②, ④

③

②, ④

④

⑴ 면 ABCD, 면 AEHD, 면 BFGC, 면 EFGH ⑵ 면 AEHD ⑶ 모서리 EH

⑴ 면 ABC, 면 ADEB ⑵ 면 ADFC ⑶ 면 ABC, 면 DEF ⑷ ABÓ, DEÓ

②

②

3개

③

③

③

⑤

①

ㅁ

③, ⑤

①, ⑤

③

②

③

③

⑤

④

④

③

③

③

22

⑤

① 점 A는 직선 n 위에 있다.

④ 두 직선 l, m의 교점은 점 C이고, 두 직선 l, n의

②

교점은 점 A이므로 같지 않다.

① ABÓ와 BCÓ는 수직이다.

` EFÓ와 CDÓ는 평행하다.

④ ADÓ와 BCÓ는 평행하다.

⑤ AEÓ와 BCÓ는 꼬인 위치에 있다.

④ 꼬인 위치는 공간에서 직선과 직선의 위치 관계에

만 존재한다.

② 오른쪽 그림에서 lm, m⊥n

이면 `l⊥n이다.

CGÓ와 평행한 모서리는 AEÓ, BFÓ, DHÓ의 3개이므로

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

a=3

개이므로 b=4

한 점에서 만나는 모서리는 `BCÓ, CDÓ, FGÓ, GHÓ의 4

꼬인 위치에 있는 모서리는` ABÓ, ADÓ, EFÓ, EHÓ의

①, ②, ④, ⑤ 두 직선은 한 점에서 만난다.

③ AFê와 CDê는 평행하다.

4개이므로 c=4

∴ a+b-c=3+4-4=3

③ ABê와 CDê는 한 점에서 만난다.

⑤

` CDê와 만나는 직선은 `ABê, ADê, BCê의 3개이다.

④ ADÓ와 BDÓ는 점 D에서 만난다.

⑤ BCÓ와 CDÓ는 점 C에서 만난다.

ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형일 때, ABÓ와` BCÓ는

ㅁ. ACÓ와 만나는 선분은 `ABÓ, ADÓ, BCÓ, CDÓ의 4

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ의 3개이다.

① 서로 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위

② 한 평면 위에서 서로 만나지 않는 두 직선은 평행

수직이다.

개이다.

치에 있다.

하다.

않을 수 있다.

⑤ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지

않다.

8 정답과 해설

③ 서로 다른 세 직선 중 어느 두 직선도 평행하지

같다.

모서리 CD와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ABÓ, AEÓ,

BFÓ, EIÓ, FGÓ, HIÓ이고, 모서리 DH와 꼬인 위치에

있는 모서리는 ACÓ, AEÓ, BCÓ, BEÓ, FGÓ, FIÓ이다.

따라서 모서리 CD, DH와 동시에 꼬인 위치에 있는

모서리는 AEÓ, FGÓ의 2개이다.

주어진 전개도로 정육면체

를 만들면 오른쪽 그림과

⑤ 모서리 AN과 모서리 IJ

는 한 점에서 만나므로

꼬인 위치에 있지 않다.

(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:46)(cid:10)

(cid:43)(cid:9)(cid:45)(cid:10)

(cid:35)(cid:9)(cid:41)(cid:10)

(cid:38)

(cid:47)

(cid:44)

(cid:36)(cid:9)(cid:40)(cid:10)

(cid:37)(cid:9)(cid:39)(cid:10)

주어진 전개도로 삼각기둥을 만들면 (cid:43)

모서리 CG와 꼬인 위치에 있는 모서리는` ABÓ,

오른쪽 그림과 같다.

(cid:34) (cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:3)(cid:40)(cid:10)

ADÓ, EFÓ, EHÓ의 4개이므로 `a=4

① 모서리 IJ와 모서리 CD는 평행

또, 모서리 FG와 평행한 면은 면 ABCD,

⑤ 모서리 IJ와 모서리 FG는 한 점

∴ a-b=4-2=2

면 AEHD의 2개이므로 `b=2

하다.

에서 만난다.

(cid:41)

(cid:38)

(cid:36)

(cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:13)(cid:3)(cid:39)(cid:10)

주어진 전개도로 입체도형을

만들면 오른쪽 그림과 같다.

(cid:34)(cid:9)(cid:36)(cid:13)(cid:3)(cid:42)(cid:10)

③ 모서리 CD와 모서리 HK

는 한 점에서 만난다.

(cid:43)(cid:9)(cid:49)(cid:13)(cid:3)(cid:51)(cid:10)

(cid:35)

(cid:39)

(cid:38)(cid:9)(cid:40)(cid:10)

(cid:46)

(cid:45)(cid:9)(cid:47)(cid:10)

(cid:37)(cid:9)(cid:41)(cid:10)

(cid:50)

(cid:48)(cid:9)(cid:44)(cid:10)

점과 평면 사이의 거리는 그 점에서 평면에 내린 수

선의 발까지의 거리이다.

①, ②, ⑤ 주어진 점과 평면 사이의 거리는 알 수 없다.

③ 점 D에서 면 EFGH에 내린 수선의 발은 점 H이

므로 점 D와 면 EFGH 사이의 거리는 DHÓ=6`cm

이다.

④ 점 E에서 면 ABCD에 내린 수선의 발은 점 A이

므로 점 E와 면 ABCD 사이의 거리는 EAÓ=6`cm

③ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지

이다.

않다.

Ú 네 점 A, B, C, D로 이루어진 평면 ⇨ 1개

Û 점 P와 네 점 A, B, C, D 중 두 점으로 이루어

EJÓ이다.

또, 면 BGHC와 평행한 모서리는 `AFÓ, DIÓ, EJÓ이다.

진 평면 ⇨ 면 PAB, 면 PAC, 면 PAD,

따라서 두 조건을 모두 만족하는 모서리는` AFÓ, DIÓ,

면 ABCDE와 수직인 모서리는 AFÓ, BGÓ, CHÓ, DIÓ,

면 PBC, 면 PBD, 면 PCD의 6개

EJÓ의 3개이다.

Ú, Û에 의해 만들 수 있는 평면의 개수는 7개이다.

③ 면 BFGC와 수직인 모서리는 ABÓ, DCÓ, EFÓ,

FGÓ, GHÓ의 4개이다.

③ BCÓ와 수직인 면은 면 ABFE, 면 CGHD의 2개

② AEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 `BCÓ, CDÓ,

④ 면 EFGH와 평행한 모서리는 ABÓ, BCÓ, CDÓ,

이다.

HGÓ의 4개이다.

DAÓ의 4개이다.

④ BFÓ는 면 ABFE와 면 BFGC의 교선이다.

⑤ 평행한 면은 면 ABCD와 면 EFGH, 면 ABFE

와 면 DCGH, 면 BFGC와 면 AEHD의 3쌍이다.

② 면 AEGC와 평행한 모서리는 BFÓ, DHÓ이다.

③ BFÓ와 평행한 모서리는 AEÓ, CGÓ, DHÓ의 3개이다.

④ EGÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ABÓ, ADÓ,

BCÓ, CDÓ, BFÓ, DHÓ의 6개이다.

⑤ 면 BFGC와 수직인 면은 면 ABCD, 면 ABFE,

면 CGHD, 면 EFGH의 4개이다.

⑴ 모서리 AB를 포함하는 면은 면 ABC,

면 ADEB이다.

⑵ 모서리 BE와 평행한 면은 면 ADFC이다.

③ 면 ADEB와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF(또

는 평면 P), 면 BEFC의 3개이다.

전개도를 이용하여 입체도형

을 만들면 오른쪽 그림과 같

다. 따라서 면 MDGJ와 평행

한 면은 면 ABCN이다.

(cid:45)(cid:9)(cid:47)(cid:10)

(cid:34)(cid:9)(cid:42)(cid:13)(cid:65)(cid:44)(cid:10)

(cid:46)

(cid:37)

(cid:43)

(cid:40)

(cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10)

(cid:35)(cid:9)(cid:39)(cid:13)(cid:65)(cid:41)(cid:10)

⑶ 모서리 AD와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF이다.

③ 모서리 FG와 모서리 DG는 한 점에서 만나지만

⑷ 면 BEFC와 수직인 모서리는 ABÓ, DEÓ이다.

수직은 아니다.

I 도형의 기초 9

② 모서리 DG와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ABÓ,

④ 면 APGQ는 면 AEHD와 평행하지 않다.

AEÓ, BFÓ, BPÓ, EFÓ, EHÓ의 6개이다.

③ 모서리 EH와 수직인 모서리는 AEÓ, DHÓ, EFÓ,

① lm, mn이면 ln이다.

GHÓ의 4개이다.

④ 면 ABPD와 평행한 면은 면 EFGH의 1개이다.

DHÓ, FGÓ, GHÓ의 5개이다.

⑤ 면 DPG와 한 점에서 만나는 모서리는 ADÓ, BPÓ,

② lm, l⊥n이면 두 직선 m, n은

(cid:79)

(cid:79)

모서리 BP와 평행한 면은 면 AEHD, 면 EFGH의

2개이므로 `a=2

또, 모서리 QR와 꼬인 위치에 있는 모서리는 ABÓ,

ADÓ, AEÓ, BFÓ, BPÓ, EFÓ, EHÓ, FGÓ의 8개이므로

`b=8

면 PQR와 수직인 면은 없으므로 `c=0

∴ 3a+2b+3c=3_2+2_8+3_0=22

③ 모서리 EF와 수직인 면은 면 AEH, 면 BFG의

④ 모서리 AH와 꼬인 위치에 있는 모서리는 BFÓ,

2개이다.

EFÓ, FGÓ의 3개이다.

⑤ 모서리 AE와 평행한 모서리는` BFÓ의 1개이다.

(cid:77)

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:78)

(cid:78)

(cid:78)

(cid:77)

만날 수도 있고 꼬인 위치에 있을

수도 있다.

④ l⊥P, mP이면 두 직선 l, m

(cid:77)

(cid:49)

은 만날 수도 있고 꼬인 위치에

있을 수도 있다.

⑤ lP, mP이면 두 직선 l, m

은 만날 수도 있고 평행할 수도 있

고 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

(cid:49)

(cid:78)

(cid:78)

(cid:78)

ㅁ. lm, l⊥n이면 두 직선 m,

n은 만날 수도 있고 꼬인 위치

(cid:77)

(cid:78)

(cid:79)

(cid:79)

에 있을 수도 있다.

① 평행할 수도 있고 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

③ 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있지

않다.

평행하다.

④ 한 평면 위에 있고 서로 만나지 않는 두 직선은

⑤ 서로 다른 세 직선 중 두 직선은 평행할 수도 있

고 한 점에서 만날 수도 있고 꼬인 위치에 있을

ㄱ. 모서리 EH와 평행한 면은 면 APQD,

수도 있다.

면 PFGQ의 2개이다.

PQÓ의 4개이다.

ㄴ. 면 AEFP와 수직인 모서리는 ADÓ, EHÓ, FGÓ,

① 두 직선 l과 m은 만날 수도 있고 평행할 수도 있

고 꼬인 위치에 있을 수도 있다.

ㄷ. 모서리 DH와 꼬인 위치에 있는 모서리는 APÓ,

② 평면 P와 직선 m은 수직이다.

EFÓ, FGÓ, PQÓ의 4개이다.

③ 두 평면 P와 Q는 수직이다.

ㄹ. 모서리 AP와 평행한 모서리는` DQÓ의 1개이다.

⑤ 두 직선 l과 m은 만날 수도 있고 꼬인 위치에 있

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

을 수도 있다.

10 정답과 해설

3

작도와 합동

주제별 실력다지기

②

⑤

①, ③

②, ③

㉠, ㉣, ㉤, ㉡

①, ④

④

③

⑤

㉤, ㉡, ㉥, ㉢

④, ⑤

②

⑤

③, ④

ACÓ의 길이, ∠B의 크기 ②, ④

ㄱ, ㄴ, ㄹ ⑤

④, ⑤

①, ④, ⑤ ④

(가) ∠DAE (나) ∠ADE (다) ASA

(가) ∠DBE (나) △DBE (다) ASA ④

⑤

⑴ △ACDª△BCE, SAS 합동 ⑵ BEÓ=10`cm, ∠BPD=120ù ⑴ △ADC, SAS 합동 ⑵ 35`cm

a+b

⑴ △ADFª△BEDª△CFE ⑵ 60ù

③

60ù

4`cmÛ“

③

45`cmÛ`

❶ A, B ❷ A, B, P ❸ 이등분선

④

⑴ ㉢ – ㉠ – ㉡ ⑵ BPÓ, BQÓ, ∠BOP, 90

②, ③

④

③

③

③

본문 35~45쪽

②, ③

①, ⑤

65

③

②

① 선분의 길이를 잴 때는 컴퍼스를 사용한다.

세 변의 길이 x-1, x+1, x+3 중에서 가장 긴 변

③ 선분을 연장할 때는 자를 사용한다.

의 길이는 x+3이므로

직선을 그릴 때 눈금 없는 자가 사용되고, ABÓ의 길

이를 잴 때 컴퍼스가 사용된다.

9의 6개이다.

x+3<(x-1)+(x+1), x+3<2x ∴ x>3

따라서 x>3인 한 자리의 자연수 x는 4, 5, 6, 7, 8,

작도 순서는 ㉢－㉠－㉣－㉤－㉡－㉥이다.

③ OBÓ=OAÓ=PDÓ=PCÓ

작도 순서는 ㉠－㉤－㉡－㉥－㉢－㉣이다.

②, ③ ABÓ=ACÓ=PQÓ=PRÓ

④ 평행선의 작도는 크기가 같은 각을 작도하고, 동

위각의 크기가 같은 두 직선은 서로 평행함을 이

용한 것이다.

② QRÓ=BCÓ

세 변의 길이 x, 2x+2, 2x+12 중에서 가장 긴 변

의 길이는 2x+12이므로

2x+1210

세 변의 길이 2x, 3x+2, 4x+7 중에서 가장 긴 변

의 길이는 4x+7이므로

4x+7<2x+(3x+2), 4x+7<5x+2 ∴ x>5

따라서 x의 값이 될 수 있는 것은 ④, ⑤이다.

(가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 가장 긴 변의 길이가 10일 때, 10<4+a ∴ a>6

① 8<2+7 ② 8=3+5 ③ 11>4+6

가장 긴 변의 길이가 a일 때,

④ 10<4+8 ⑤ 14=5+9 a<4+10 ∴ a<14 이므로 따라서 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 것은 따라서 65

가장 긴 변의 길이가 a일 때,

a<6+11 ∴ a<17 따라서 56

가장 긴 변의 길이가 a일 때,

따라서 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인

a<13+7 ∴ a<20 각의 크기가 같으므로 따라서 65

가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때,

x<4+9 ∴ x<13 따라서 53

①이다.

따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 `①이다.

세 변의 길이 x, x+2, x+5 중에서 가장 긴 변의

길이는 x+5이므로

I 도형의 기초 17

II 평면도형

1

다각형

주제별 실력다지기

본문 54~69쪽

②, ⑤

①, ③

정오각형

⑴ 11개 ⑵ 12개 ⑶ 77개

(가) 180ù (나) ∠ACD (다) 180ù (라) ∠B

정십일각형

②

④

④

③

180ù

60ù

⑤

③

②

40ù

②

①

③

240ù

36ù

(가) 6 (나) 1080ù (다) 720ù

③

③

90개

③

③

③

②

①

45ù

②

⑤

①

②

④

⑤

④

0ù

③

정십육각형

1800ù

158ù

35개

①

①

③

76ù

③

540ù

③

④, ⑤

∠a=78ù, ∠b=72ù, ∠c=64ù

④

36번

②

②

⑤

②

②

900ù

③

7개

③

④

③

34ù

④

③

④

④

⑤

④

⑤

②

21ù

③

②

②

162ù

② 도형 전체가 곡선이므로 다각형이 아니다.

이때 생기는 삼각형의 개수는 y=20-2=18

⑤ 입체도형은 다각형이 아니다.

∴ x-y=17-18=-1

② 다각형을 이루는 각 선분을 변이라 한다.

④ 다각형의 이웃하는 두 변으로 이루어진 각은 내각

이다.

⑤ 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은

다각형을 정다각형이라 한다.

③ 정다각형의 대각선의 길이가 모두 같지는 않다.

(가)에서 오각형이고, (나), (다)에서 정다각형이므로

세 조건을 모두 만족하는 다각형은 정오각형이다.

한 내각과 그에 대한 외각의 크기의 합은 `180ù이므로

∠x=180ù-75ù=105ù

∠y=180ù-127ù=53ù

∴ ∠x+∠y=105ù+53ù=158ù

⑴ 14-3=11(개)

⑵ 14-2=12(개)

⑶

14_(14-3)

2

=7_11=77(개)

이십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개

수는

x=20-3=17

18 정답과 해설

a=12-3=9, b=

12_(12-3)

2

=6_9=54

∴ a+b=9+54=63

n각형의 내부의 한 점에서 각 꼭짓점에 선분을 그었

을 때 생기는 삼각형의 개수는 n각형의 변의 개수 n

개와 같다.

따라서 오른쪽 그림과 같이 구각형

이므로 한 꼭짓점에서 그을 수 있는

대각선의 개수는

9-3=6(개)

구하는 다각형을 n각형이라 하면 n각형의 한 꼭짓점

에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므로

n-3=17 ∴ n=20

따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수가

17개인 다각형은 이십각형이다.

n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때 생기는

삼각형의 개수는 (n-2)개이므로 구하는 다각형을

n각형이라 하면 n-2=8에서 n=10

즉, 십각형이므로 대각선의 총 개수는

10_(10-3)

2

=5_7=35(개)

구하는 다각형을 n각형이라 하면

n(n-3)

2

=65에서`

n(n-3)=130=13_10 ∴ n=13

따라서 십삼각형이다.

구하는 다각형을 n각형이라 하면

n(n-3)

2

=27에서`

n(n-3)=54=9_6 ∴ n=9

따라서 구각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그었을 때

생기는 삼각형의 개수는 `9-2=7(개)이다.

구하는 다각형을 n각형이라 하면

n(n-3)

2

=104에서`

n(n-3)=208=16_13 ∴ n=16

따라서 십육각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각

선의 개수는 16-3=13(개)이다.

구하는 다각형을 n각형이라 하면 (가)에서

n(n-3)

2

=44, n(n-3)=88=11_8

따라서 n=11, 즉 십일각형이다.

(나)에서 정다각형이므로

두 조건을 모두 만족하는 다각형은 정십일각형이다.

구하는 다각형을 n각형이라 하면

n-3=12 ∴ `n=15

따라서 십오각형의 대각선의 총 개수는

15_(15-3)

2

=90(개)

따라서 칠각형이므로 변의 개수는 7개, 대각선의 총

로

n-3=4 ∴ `n=7

개수는

7_(7-3)

2

7+14=21(개)

=14(개)이므로

양 옆의 사람을 제외한 두 사람씩 짝

을 지으면 악수를 한 총 횟수는 육각

형의 대각선의 총 개수와 같으므로

6_(6-3)

2

=3_3=9(번)

9개 팀 모두가 단 한 번씩 다른 팀과 서로 경기를 할

때 총 경기 횟수는 구각형의 변의 개수와 대각선의

총 개수를 합한 것과 같으므로

9+

9_(9-3)

2

=9+27=36(번)

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 가장

큰 내각의 크기는

180ù_

3

2+1+3

=90ù

오른쪽 그림에서

50ù+30ù+43ù+∠a+∠b=180ù

이므로 ∠a+∠b=57ù

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:66)

(cid:21)(cid:20)(cid:177)

(cid:89)

(cid:67)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

∴ ∠x=180ù-(∠a+∠b)=180ù-57ù=123ù

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그

으면 오각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(5-2)=540ù

이므로

(cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:25)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:22)(cid:177)

(cid:66)

(cid:89)

(cid:67)

(cid:24)(cid:22)(cid:177)

110ù+120ù+65ù+∠a+∠b+75ù+85ù=540ù

따라서 ∠a+∠b=85ù이므로

∠x=180ù-(∠a+∠b)=180ù-85ù=95ù

(∠x+5ù)+30ù=75ù, ∠x+35ù=75ù

∴ ∠x=40ù

∠x=65ù+40ù=105ù

∠y+45ù=∠x에서

∠y=∠x-45ù=105ù-45ù=60ù

∴ ∠x+∠y=105ù+60ù=165ù

∠B+∠C=180ù-48ù=132ù이므로

∠x=180ù-

(∠B+∠C)

=180ù-

_132ù=180ù-66ù=114ù

;2!;

;2!;

II 평면도형 19

구하는 다각형을 n각형이라 하면 n각형의 한 꼭짓점

에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n-3)개이므

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두

내각의 크기의 합과 같으므로

65ù+40ù=∠x+30ù ∴ ∠x=75ù

∠A+40ù=120ù이므로 ∠A=120ù-40ù=80ù

;2!;∠A=40ù+

2∠x=40ù+

_80ù=80ù

;2!;

∴ ∠x=40ù

이때 ∠A+∠C=∠ABE이므로

∠A=∠ABE-∠C

∴ ∠x=

;2!;∠A=

;2!;

_60ù=30ù

∠A+∠B=180ù-58ù=122ù이므로

∠BDE=

(∠A+∠B)=

_122ù=61ù

;2!;

;2!;

∠A+∠x=∠BCE이므로

∠x=∠BCE-∠A

이때

;2!;∠A+37ù=

;2!;∠BCE이므로

;2!;∠BCE-

;2!;∠A=37ù

(∠BCE-∠A)=37ù

;2!;

;2!;∠x=37ù ∴ ∠x=74ù

△ABD에서 ABÓ=DBÓ이므로

∠BDA=∠BAD=80ù

(cid:35)

(cid:66)

(cid:66)

(cid:36)

(cid:67)

(cid:67)

∠y+10ù=180ù-(80ù+80ù)=20ù

∠A+∠B=180ù-62ù=118ù이므로

∠ADB=180ù-

(∠A+∠B)

;2!;

;2!;

=180ù-

_118ù=121ù

오른쪽 그림에서

50ù+(180ù-2∠a)+(180ù-2∠b)

=180ù

이므로 ∠a+∠b=115ù

∴ ∠x =180ù-(∠a+∠b)

=180ù-115ù=65ù

(cid:34)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:89)

(cid:37)

;2!;∠B+∠x=

∠x=

;2!;∠ACE-

;2!;∠ACE이므로

;2!;∠B

=

;2!;

(∠ACE-∠B)

이때 ∠A+∠B=∠ACE이므로

∠A=∠ACE-∠B

∴ ∠x=

;2!;∠A=

;2!;

_42ù=21ù

∠x+∠B=∠ACE이므로

∠x=∠ACE-∠B

이때

;2!;∠B+38ù=

;2!;∠ACE이므로

;2!;∠ACE-

;2!;∠B=38ù

(∠ACE-∠B)=38ù

;2!;

;2!;∠x=38ù ∴ ∠x=76ù

;2!;∠C+∠x=

;2!;∠ABE이므로

∠x=

;2!;∠ABE-

;2!;∠C

=

;2!;

(∠ABE-∠C)

20 정답과 해설

∴ ∠y=10ù

△BCD에서 ∠DBC+∠DCB=∠BDA이므로

(∠x-4ù)+(2∠x-60ù)=80ù, 3∠x=144ù

∴ ∠x=48ù

∴ ∠x+∠y=48ù+10ù=58ù

△ABC는 `ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로

∠ABC=∠ACB=

_(180ù-50ù)=65ù

;2!;

또, △BCD는 `BCÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로

∠BDC=∠DBC=65ù

∴ ∠DCB=180ù-(65ù+65ù)=50ù

오른쪽 그림에서

∠x+2∠x+96ù=180ù

(cid:34)

(cid:26)(cid:23)(cid:177)

(cid:89)

(cid:89)

(cid:35)

(cid:19)(cid:89)

(cid:89)

(cid:37)

(cid:36)

3∠x=84ù

∴ ∠x=28ù

오른쪽 그림에서

∠B=∠x라 하면

∠x+2∠x=123ù

3∠x=123ù

∴ ∠x=41ù

(cid:34)

(cid:19)(cid:89)

(cid:37)

(cid:19)(cid:89)

(cid:89)

(cid:35)

(cid:18)(cid:19)(cid:20)(cid:177)

(cid:89)

(cid:36)

∴ ∠ACD =180ù-(123ù+41ù)=16ù

△ACD는 `ACÓ=CDÓ인 이등변삼각형이므로

∠CAD=∠CDA=180ù-150ù=30ù

칠각형의 내각의 크기의 합은

또, `△ABC는 `ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로

180ù_(7-2)=900ù

∠ABC =∠ACB=∠CAD+∠CDA

이므로

=30ù+30ù=60ù

∠x+120ù+110ù+(∠x+20ù)+90ù+150ù+130ù

오른쪽 그림에서

2∠x+∠x=102ù

3∠x=102ù

∴ ∠x=34ù

오른쪽 그림에서

∠x+4∠x=105ù

5∠x=105ù

∴ ∠x=21ù

(cid:34)

(cid:19)(cid:89)

(cid:19)(cid:89)

(cid:37)

(cid:18)(cid:17)(cid:19)(cid:177)

(cid:89)

(cid:35)

(cid:89)

(cid:36)

=900ù

2∠x=280ù `

∴ ∠x=140ù

사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로

80ù+(180ù-110ù)+68ù+(2∠x-10ù)=360ù

2∠x=152ù ∴ ∠x=76ù

(cid:38)

(cid:20)(cid:89)

(cid:36)

(cid:89)

(cid:19)(cid:89)

(cid:20)(cid:89)

(cid:21)(cid:89)

(cid:19)(cid:89)

(cid:40)

(cid:18)(cid:17)(cid:22)(cid:177)

(cid:21)(cid:89)

(cid:35)

(cid:37) (cid:39)

(cid:89)

(cid:34)

오른쪽 그림에서

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

=180ù

(cid:68)(cid:12)(cid:70)

(cid:66)

(cid:67)(cid:12)(cid:69)

(cid:70)

(cid:67)

(cid:68)

∠A+120ù+100ù+110ù+130ù+∠F=720ù

(cid:69)

∠A+∠F=260ù

육각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(6-2)=720ù

이므로

∴ ∠x=180ù-

(∠A+∠F)

;2!;

;2!;

=180ù-

_260ù

=180ù-130ù

=50ù

오른쪽 그림에서

∠x+71ù+74ù=180ù

∴ ∠x=35ù

오른쪽 그림에서

63ù+81ù+∠x+∠y=360ù

∴ ∠x+∠y=216ù

(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:17)(cid:177)

(cid:19)(cid:21)(cid:177)

(cid:20)(cid:18)(cid:177)

(cid:24)(cid:18)(cid:177)

(cid:89)

(cid:24)(cid:21)(cid:177)

(cid:20)(cid:20)(cid:177)

(cid:21)(cid:23)(cid:177)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:23)(cid:20)(cid:177) (cid:25)(cid:18)(cid:177)

(cid:89) (cid:90)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두

내각의 크기의 합과 같으므로

∠a=36ù+42ù=78ù

∠b=30ù+42ù=72ù

∠c=28ù+36ù=64ù

오른쪽 그림과 같이 육각형의 내부의

한 점과 각 꼭짓점을 연결하면 6 개의

삼각형이 만들어진다.

이 삼각형들의 내각의 크기의 합은

180ù_ 6 =1080ù

형의 내각의 크기의 합이 되므로

1080ù-360ù= 720ù

여기서 가운데 색칠한 부분의 각의 크기를 빼면 육각

구하는 다각형을 n각형이라 하면

180ù_(n-2)=1260ù, n-2=7 ∴ n=9

따라서 구각형이다.

(내각의 크기의 합) =2160ù-(외각의 크기의 합)

=2160ù-360ù=1800ù

구하는 다각형을 n각형이라 하면 내각의 크기의 합

이 1800ù인 다각형은

따라서 십이각형이다.

180ù_(n-2)=1800ù, n-2=10 ∴ n=12

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

(∠x+40ù)+80ù+(180ù-130ù)+130ù=360ù

∴ ∠x=60ù

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

60ù+92ù+(2∠x-10ù)+80ù=360ù

2∠x=138ù ∴ ∠x=69ù

II 평면도형 21

다각형의 외각의 크기의 합은 360ù이므로

70ù+65ù+71ù+(180ù-∠x)+78ù=360ù

∴ ∠x=104ù

(∠x+20ù)+(180ù-156ù)+110ù+50ù

오른쪽 그림에서 삼각형의

한 외각의 크기는 그와 이웃

하지 않는 두 내각의 크기의

합과 같으므로

△CFI에서

(cid:69)

(cid:41)

(cid:67)(cid:12)(cid:68)(cid:12)(cid:70)

(cid:34)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:42)

(cid:40)

(cid:70)

(cid:38)

(cid:68)

(cid:35)

(cid:66)

(cid:36)

(cid:68)(cid:12)(cid:70)

(cid:37)

(cid:67)

(cid:39)

+(180ù-110ù)

∠DCE=∠c+∠e

마찬가지로 △CDE에서

∠CEG=∠b+∠c+∠e

=360ù

∴ ∠x=86ù

=360ù

∴ ∠x=16ù

=360ù

∴ ∠x=50ù

(∠x+20ù)+74ù+80ù+52ù+48ù+(180ù-110ù)

(2∠x-17ù)+(180ù-110ù)+45ù+62ù

+(180ù-2∠x)+(∠x-30ù)

따라서 사각형 ABEH에서 사각형의 내각의 크기의

합은 360ù이므로

120ù+∠a+(∠b+∠c+∠e)+∠d=360ù

∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

=360ù-120ù=240ù

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그

으면

∠g+∠h=∠i+∠j이므로

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

(cid:66)

(cid:71)

(cid:67)

(cid:72)

(cid:73)

(cid:70)

(cid:68)

(cid:74)

(cid:75)

(cid:69)

+∠ f +∠g+∠h“

=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠ f +∠i+∠j

=(육각형의 내각의 크기의 합)

=180ù_(6-2)

=720ù

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그

(cid:67)

으면

20ù+35ù=∠ f +∠g이므로

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

+20ù+35ù

(cid:66)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:70)

(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:69)

(cid:72)

(cid:68)

(cid:71)

=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠ f +∠g

=(오각형의 내각의 크기의 합)

=180ù_(5-2)=540ù

∴ ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

=540ù-(20ù+35ù)=485ù

오른쪽 그림에서

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

+∠f+∠g+∠h“`

=(사각형의 외각의 크기의 합)

(cid:66)

(cid:72)(cid:12)(cid:73)

(cid:73)

(cid:72)

(cid:70)(cid:12)(cid:71)

(cid:67)

(cid:66)(cid:12)(cid:67)

(cid:68)

(cid:69)

(cid:68)(cid:12)(cid:69)

(cid:71) (cid:70)

=360ù

오른쪽 그림에서

∠c+∠g=∠a+∠b

이므로

(cid:67)

(cid:66)

(cid:66)(cid:12)(cid:67)

(cid:66)(cid:12)(cid:67)

(cid:70)(cid:12)(cid:71)

(cid:69)

(cid:72)

(cid:70)(cid:12)(cid:71)

(cid:72)

(cid:68)

(cid:71)

(cid:70)

∠g=∠a+∠b-∠c

또, ∠d+∠g=∠e+∠ f 이므로

∠g=∠e+∠ f -∠d

따라서 ∠a+∠b-∠c=∠e+∠ f-∠d이므로

∠a+∠b-∠c+∠d-∠e-∠ f=0ù

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으

360ù-(∠e+∠ f +∠g)

=180ù-(∠i+∠j)

면

에서

∠e+∠ f +∠g=∠i+∠j+180ù

이므로

(cid:66)

(cid:70) (cid:72)(cid:71)

(cid:69)

(cid:68)

(cid:75)

(cid:67)

(cid:74)

오른쪽 그림에서

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e

+∠ f

(cid:67)

(cid:66)

(cid:68)

(cid:71)

(cid:67)(cid:12)(cid:68)

(cid:70)

(cid:66)(cid:12)(cid:71)

(cid:69)

∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠ f +∠g

=∠a+∠b+∠c+∠d+∠i+∠j+180ù

=(사각형의 내각의 크기의 합)+180ù

=(사각형의 내각의 크기의 합)

=360ù

22 정답과 해설

=360ù+180ù

=540ù

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그

∠x=180ù-(72ù+72ù)=36ù

360ù-(∠g+∠h+∠i)

=180ù-(∠j+∠k)

으면

이므로

(cid:71)

(cid:70)

(cid:74)

(cid:73)

(cid:76)

(cid:69)

(cid:66)

(cid:72)

(cid:75)

(cid:67)

(cid:68)

∠g+∠h+∠i=∠j+∠k+180ù

∴ ∠a+∠b+∠c+…`+∠g+∠h+∠i

=∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠f

+∠j+∠k+180ù

=(육각형의 내각의 크기의 합)+180ù

=180ù_(6-2)+180ù=900ù

① 정팔각형의 내각의 크기의 합은

180ù_(8-2)=1080ù

② 정팔각형의 한 내각의 크기는

180ù_(8-2)

8

=135ù

③ 정팔각형의 한 외각의 크기는

=45ù

360ù

8

④ 한 꼭짓점에서 8-3=5(개)의 대각선을 그을 수

있다.

⑤ 정팔각형의 대각선의 총 개수는

8_(8-3)

2

=20(개)

정오각형의 한 내각의 크기는

180ù_(5-2)

5

=108ù

정육각형의 한 내각의 크기는

180ù_(6-2)

6

=120ù

이므로

∠x=360ù-(108ù+2_120ù)=12ù

정육각형 ABCDEF의 한 내각의 크기는

180ù_(6-2)

6

=120ù

△ABC에서 ABÓ=BCÓ이므로

∠ACB=

_(180ù-120ù)=30ù

마찬가지로 △BCD에서` BCÓ=CDÓ이므로

∠CBD=

_(180ù-120ù)=30ù

∴ ∠x=30ù+30ù=60ù

;2!;

;2!;

오른쪽 그림과 같이 원 위의

점을 연결하면 정팔각형이 만

들어진다. 정팔각형의 한 내각

(cid:36)

의 크기는

180ù_(8-2)

8

=135ù

∴ ∠AEF=

;2!;∠E

(cid:35)

(cid:37)

(cid:34)

(cid:41)

(cid:39)

(cid:40)

(cid:18)(cid:20)(cid:22)(cid:177)

(cid:89)

(cid:38)

=

;2!;

_135ù=67.5ù

이때 △EFG에서 EFÓ=FGÓ이므로

∠FEG=

_(180ù-135ù)=22.5ù

;2!;

∴ ∠x =∠AEF-∠FEG

=67.5ù-22.5ù=45ù

한 내각의 크기가 140ù이므로 한 외각의 크기는

180ù-140ù=40ù

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=40ù ∴ n=9

따라서 정구각형이므로 꼭짓점의 개수는 9개이다.

정다각형의 한 내각의 크기가 144ù이므로 한 외각의

크기는

180ù-144ù=36ù

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=36ù ∴ n=10

따라서 정십각형이므로 구하는 대각선의 총 개수는

10_(10-3)

2

=35(개)

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=24ù ∴ n=15

따라서 정십오각형이므로 내각의 크기의 합은

180ù_(15-2)=2340ù

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=30ù ∴ n=12

따라서 정십이각형이므로 대각선의 총 개수는

II 평면도형 23

정오각형의 한 외각의 크기는`

=72ù이므로

360ù

5

12_(12-3)

2

=54(개)

내각의 크기의 총합은 3600ù-360ù=3240ù이므로

(한 외각의 크기)=180ù_

=36ù이므로

;5!;

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

180ù_(n-2)=3240ù, n-2=18 ∴ n=20

따라서 정이십각형이므로 한 내각의 크기는

3240ù

20

=162ù

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=36ù ∴ n=10

따라서 정십각형의 내각과 외각의 크기의 총합은

180ù_10=1800ù

(한 외각의 크기)=180ù_

=22.5ù이므로

;8!;

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=22.5ù ∴ n=16

따라서 정십육각형이다.

(한 외각의 크기)=180ù_

=72ù이므로

;5@;

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

360ù

n

=72ù ∴ n=5

따라서 정오각형이다.

① 한 외각의 크기는 72ù이다.

(한 외각의 크기)=180ù_

=60ù이므로

;3!;

② 내각의 크기의 합은 `180ù_(5-2)=540ù이다.

구하는 다각형을 정n각형이라 하면

③ 대각선의 총 개수는 `

=5(개)이다.

5_(5-3)

2

360ù

n

=60ù ∴ n=6

따라서 정육각형의 대각선의 총 개수는

6_(6-3)

2

=9(개)

2

원과 부채꼴

주제별 실력다지기

본문 72~81쪽

②, ④

④

60ù

µ BC=4p`cm, µ DE=12p`cm

③

④

①

19p`cmÛ` ②

③, ⑤

②, ④

②

④

④

④

⑤

②

③

10`cm

24p`cm

둘레의 길이：30p`cm, 넓이：75p`cmÛ“

B 선수：2p`m, C 선수：4p`m

⑤

호의 길이：6p`cm, 넓이：27p`cmÛ`

30p`cmÛ“

p`cmÛ`

:¥2Á:

p

;2%;

45ù

중심각의 크기：120ù, 넓이：12p`cmÛ`

216ù

16：15

p`mÛ`

8p`cm

:¥4£:

③

(12+10p)`cm

둘레의 길이：(24+20p)`cm, 넓이：60p`cmÛ“

(72p-144)`cmÛ“

①

75-

{

:ª2°:

}

p

`cmÛ“`

(800-200p)`cmÛ“

`cmÛ“

:¥2Á:

72`cmÛ“

둘레의 길이：12p`cm, 넓이：12p`cmÛ`

32p`cmÛ`

(32p-64)`cmÛ“

① CDÓ

Ó와 `EFÓ는 현이다.

△AOB는 정삼각형이므로 부채꼴 AOB의 중심각

③ CDÓ는 지름으로 가장 긴 현이다.

의 크기는 60ù이다.

⑤ µAB와 OAÓ, OBÓ로 둘러싸인 도형은 부채꼴이다.

④ 반원은 부채꼴이면서 활꼴이므로 반원의 경우에

③ 한 원에서 현의 길이는 그 현에 대한 중심각의 크

는 부채꼴의 넓이와 활꼴의 넓이가 같다.

기에 정비례하지 않는다.

24 정답과 해설

부채꼴의 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므

④ 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하

로

30`:`x=4`:`12 ∴ x=90

또, 30`:`60=4`:`y ∴ y=8

30`:`120=(부채꼴` OAB의 넓이)`:`76p

1`:`4=(부채꼴` OAB의 넓이)`:`76p

4_(부채꼴` OAB의 넓이)=76p

∴ (부채꼴` OAB의 넓이)=19p`cmÛ`

OAÓ=OBÓ에서 ∠OAB=∠OBA=30ù이므로

∠AOC=30ù+30ù=60ù,

∠COD=180ù-60ù=120ù

따라서 ∠AOC`:`∠COD=µAC`:`µ CD에서

60`:`120=µAC`:`6p, 1`:`2=µAC`:`6p

∴ µAC=3p`cm

ACÓ=OCÓ=OAÓ이므로 △CAO는 정삼각형이다.

즉, ∠AOC=60ù

∴ ∠COD=180ù-(60ù+70ù)=50ù

따라서 µAC`:`µ CD=60`:`50에서

12`:`µ CD=60`:`50, 12`:`µ CD=6`:`5

∴ µ CD=10`cm

지 않으므로 CEÓ+2ABÓ

∠OAB=∠AOC=40ù(엇각)

OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=40ù

∴ ∠AOB=180ù-(40ù+40ù)=100ù

또, ∠BOD=∠OBA=40ù(엇각)이므로

µAB`:`µ BD=100`:`40, µAB`:`10=100`:`40

µAB`:`10=5`:`2 ∴ µAB=25`cm

∠OBA=∠BOD=30ù(엇각)

OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=30ù

∴ ∠AOB=180ù-(30ù+30ù)=120ù

따라서 120`:`360=1`:`3이므로 원 O의 둘레의 길이

는 `µAB의 길이의 3배이다.

오른쪽 그림과 같이` ODÓ를

그으면` ADÓOCÓ이므로

∠OAD =∠BOC

=30ù(동위각)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:37)

(cid:36)

(cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:20)(cid:17)(cid:177)

(cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78)

(cid:34)

(cid:48)

(cid:35)

OAÓ=ODÓ이므로 ∠ADO=∠OAD=30ù

∴ ∠AOD=180ù-(30ù+30ù)=120ù

µAD`:`µ BC=120`:`30에서

µAD`:`5=120`:`30, µAD`:`5=4`:`1 `

∴ µAD=20`cm

ACÓ=OCÓ에서 ∠CAO=∠COA=30ù이므로

∠OCD=∠CAO+∠COA=30ù+30ù=60ù

또, OCÓ=ODÓ에서 ∠ODC=∠OCD=60ù

∴ ∠COD=180ù-(60ù+60ù)=60ù,

∠DBO =∠COA

∠DOE=180ù-(30ù+60ù)=90ù

=20ù(동위각)

따라서 µ BC`:`µ CD`:`µ DE=30`:`60`:`90이므로

OBÓ=ODÓ이므로 ∠BDO=∠DBO=20ù

오른쪽 그림과 같이` ODÓ를 그

으면 BDÓOCÓ이므로

(cid:18)(cid:21)(cid:76) (cid:68)(cid:78)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:37)

(cid:36)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:18)(cid:21)(cid:17)(cid:177)

(cid:34)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:48)

(cid:19)(cid:17)(cid:177)

(cid:35)

µ BC`:`8p`:`µ DE=1`:`2`:`3

∴ µ BC=4p`cm, µ DE=12p`cm

④ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

즉, CDÓ<2ABÓ ∴ ∠COD=∠BDO=20ù(엇각), ∠BOD=180ù-(20ù+20ù)=140ù µ CD`:`µ BD=20`:`140에서 µ CD`:`14p=20`:`140, µ CD`:`14p=1`:`7 ∴ µ CD=2p`cm ③ 3∠AOB=∠COF이므로` µAB= µ CF ;3!; ⑤ △OAC<2△OEF 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:37) 으면 ∠AOD=∠OBC(동위각) (cid:34) (cid:35) (cid:36) (cid:48) ② 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하 므로 µ CE=2µAB ∴ ∠COD=∠OCB(엇각) OBÓ=OCÓ이므로 ∠OCB=∠OBC II 평면도형 25 따라서 ∠AOD=∠COD이고, 같은 크기의 중심각 따라서 B`선수는` A`선수보다 에 대한 현의 길이는 같으므로 ADÓ=CDÓ=10`cm 오른쪽 그림과 같이` OAÓ를 그으면 ABÓOCÓ이므로 (cid:37) (cid:48) (cid:34) ∠OBA=∠BOC(엇각) OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA 따라서 ∠AOD=∠OAB+∠OBA=2∠BOC이 므로 µAD`:`µ BC=∠AOD`:`∠BOC에서 µAD`:`12p=2∠BOC`:`∠BOC, µAD`:`12p=2`:`1 ∴ µAD=24p`cm (200+64p)-(200+62p)=2p(m), C`선수는 A`선수보다 (200+66p)-(200+62p)=4p(m) 더 앞에서 출발해야 한다. 어두운 부분의 둘레의 길이는 (cid:36) (cid:18)(cid:19)(cid:76) (cid:68)(cid:78) (cid:35) 2p_ { ;2(;} { + 2p_9_ ;3#6)0);} +(9+9) =9p+15p+18 =24p+18(cm) 원 O는 반지름의 길이가 10`cm이므로 둘레의 길이는 2p_10=20p(cm)이고, 넓이는 p_10Û`=100p(cmÛ`) 원 O'은 반지름의 길이가 `5`cm이므로 둘레의 길이는 2p_5=10p(cm)이고, 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`) 따라서 어두운 부분의 둘레의 길이는 20p+10p=30p(cm)이고, 넓이는 100p-25p=75p(cmÛ`) 원의 반지름의 길이를` r라 하면 2pr=10p ∴ r=5`cm p_5Û`=25p(cmÛ`) 원이 지나간 자리의 넓이는 오른 쪽 그림의 어두운 부분의 넓이와 (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 같으므로 4_(10_4)+p_4Û` =160+16p(cmÛ`) (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) A`선수가 뛸 트랙 거리는 100_2+2p_31=200+62p(m) B`선수가 뛸 트랙 거리는 100_2+2p_32=200+64p(m) C`선수가 뛸 트랙 거리는 100_2+2p_33=200+66p(m) 26 정답과 해설 정육각형의 한 내각의 크기는 180ù_(6-2) 6 =120ù 이므로 어두운 부분인 부채꼴의 (호의 길이)=2p_9_ =6p(cm), ;[email protected]); (넓이)=p_9Û`_ =27p(cmÛ`) ;[email protected]); 다른 풀이 어두운 부분인 부채꼴의 호의 길이가 6p`cm이므로 (넓이)= _9_6p=27p(cmÛ`) ;2!; 정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù 따라서 어두운 부분은 중심각의 크기가 108ù이고, 반지름의 길이가 10`cm인 부채꼴이므로 넓이는 가로의 길이가 x`cm, 세로의 길이가 10`cm인 직사 각형의 넓이와 중심각의 크기가 90ù, 반지름의 길이 가 10`cm인 부채꼴의 넓이가 같으므로 반지름의 길이를 `r라 하면 호의 길이가 6p`cm이므로 10_x=p_10Û`_ ` ;3»6¼0; ∴ x= p ;2%; 2p_r_ =6p ;3¥6¼0; ∴ r= cm :ª2¦:` 따라서 넓이를 S라 하면 S= _ ;2!; :ª2¦: _6p= p(cmÛ`) :¥2Á: 따라서 원의 반지름의 길이가 5`cm이므로 넓이는 p_10Û`_ =30p(cmÛ`) ;3!6)0*; 다른 풀이 반지름의 길이가 `cm, 중심각의 크기 :ª2¦: 가 80ù이므로 넓이 S는 S=p_ Û`_ {:ª2¦:} = ;3¥6¼0; :¥2Á: p(cmÛ`) = p+ p ;4*; :¦4°: = p(mÛ`) :¥4£: (cid:34) (cid:34) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:36) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:77) 위의 그림과 같이 꼭짓점 A가 움직인 거리는 중심각 의 크기가 120ù인 부채꼴의 호의 길이의 2배와 같으 므로 중심각의 크기를 ∠x라 하면 호의 길이가 4p`cm이 2p_6_ =4p ∴ ∠x=120ù ;36{0; 넓이를 S라 하면 S= _6_4p=12p(cmÛ`) ;2!; 므로 이다. 따라서 중심각의 크기는 120ù이고, 넓이는 12p`cmÛ` 2_ 2p_6_ { ;[email protected]);} =8p(cm) 다른 풀이 반지름의 길이가 6`cm, 중심각의 크기가 120ù이므로 넓이 S는 S=p_6Û`_ =12p(cmÛ`) ;[email protected]); (cid:77)(cid:132) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:77)(cid:109) (cid:36) (cid:35) (cid:37) (cid:36) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:35) (cid:34) (cid:77)(cid:102) (cid:34) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:36) (cid:37) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:77) (cid:34) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 중심각의 크기를 ∠x라 하면 넓이가 15p`cmÛ`이므로 위의 그림과 같이 점 A가 움직인 자취인 세 부분의 반지름의 길이를 `r라 하면 호의 길이가 2p`cm이고 이때 중심각의 크기를 ∠x라 하면 호의 길이가 p_5Û`_ =15p ` ;36{0; ∴ ∠x=216ù 넓이가 8p`cmÛ`이므로` _r_2p=8p` ` ;2!; ∴ r=8`cm 2p`cm이므로 2p_8_ =2p` ` ;36{0; ∴ ∠x=45ù 호의 길이를 각각 lÁ, lª, l£라 하면 lÁ=2p_12_ =6p(cm) ;3»6¼0; lª=2p_13_ = ;3»6¼0; :Á2£: p(cm) l£=2p_5_ ;;3»6¼0; = ;2%; p(cm) ∴ lÁ+lª+l£=6p+ p+ p=15p(cm) :Á2£: ;2%; 큰 부채꼴의 호의 길이는 ` 2p_18_ =6p(cm) ;3¤6¼0; 작은 부채꼴의 호의 길이는 ` 2p_12_ =4p(cm) ;3¤6¼0; 부채꼴 A, B의 반지름의 길이를 각각 r, r '이라 하 따라서 어두운 부분의 둘레의 길이는 2_(18-12)+6p+4p=12+10p(cm) 면 {;2!; _r_3p `:` _r '_4p =4`:`5, 15r=16r ' } {;2!; } ∴ r`:`r '=16`:`15 어두운 부분의 (둘레의 길이) 강아지가 최대로 움직일 수 있 는 땅의 넓이는 오른쪽 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로 p_5Û`_ ;[email protected]&0); +2_ p_2Û`_ { ;3»6¼0;} (cid:19)(cid:65)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:24)(cid:17)(cid:177) (cid:19)(cid:65)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:78) (cid:19)(cid:65)(cid:78) =(2p_6)+(12+12)+ 2p_12_ { ;[email protected]);} =12p+24+8p=24+20p(cm) (넓이) =p_6Û`_ + p_12Û`_ -p_6Û`_ ;[email protected]$0); { ;[email protected]); ;[email protected]);} =24p+36p=60p(cmÛ`) II 평면도형 27 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그 으면 ㉠, ㉡의 넓이는 각각 반지름 의 길이가 12`cm, 중심각의 크기 가 90ù인 부채꼴의 넓이에서 밑변 ㉠㉡ (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19) (cid:68)(cid:78) 의 길이가 12`cm, 높이가 12`cm인 삼각형의 넓이 를 뺀 것과 같으므로 어두운 부분의 넓이는 ㉠ +㉡=2_ p_12Û`_ { ;3»6¼0; - _12_12 } ;2!; =2_(36p-72) =72p-144(cmÛ`) 오른쪽 그림에서 어두운 삼 각형은 정삼각형이므로 어두 운 부분의 넓이는 p_12Û`_ 12_12-2_ { ;3£6¼0;} =144-24p(cmÛ`) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:23)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:17)(cid:177) 오른쪽 그림과 같이 이동시키면 어두운 부분의 삼각형의 넓이와 (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:26)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 같다. 따라서 어두운 부분의 넓이는 _9_9= (cmÛ`) :¥2Á: ;2!; 오른쪽 그림과 같이 이동시키면 어두 운 부분의 두 삼각형의 넓이의 합과 같다. 따라서 어두운 부분의 넓이는 2_ {;2!; _12_6 =72(cmÛ`) } (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 오른쪽 그림과 같이 이동시 키면 어두운 부분의 (둘레의 길이) =2p_4+2p_2 (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 어두운 부분의 넓이는 한 변 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =8p+4p=12p(cm) 의 길이가 10`cm인 정사각 형의 넓이에서 반지름의 길 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 이가 5`cm인 반원과 밑변의 (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (넓이)=p_4Û`-p_2Û` =16p-4p=12p(cmÛ`) 길이가 10`cm, 높이가 5`cm인 삼각형의 넓이를 뺀 어두운 부분의 넓이는 것과 같으므로 10_10-p_5Û`_ - _10_5 ;2!; ;2!; =100- p-25=75- p(cmÛ`) :ª2°: :ª2°: 어두운 부분의 넓이는 오른쪽 그 림의 어두운 부분의 넓이의 8배이 므로 { 8_ 10_10-p_10Û`_ ;3»6¼0;} =8_(100-25p) =800-200p(cmÛ`) (부채꼴 ABB'의 넓이)+(지름이 AB'Ó인 반원의 넓이) -(지름이 ABÓ인 반원의 넓이) =(부채꼴 ABB'의 넓이) =p_16Û`_ =32p(cmÛ`) ;3¢6°0; (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 오른쪽 그림과 같이 이동시키면 어두운 부분의 넓이는 반원의 넓 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 이에서 삼각형의 넓이를 뺀 것과 (cid:18)(cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 같으므로 p_8Û`_ - ;2!; ;2!; _16_8=32p-64(cmÛ`) 28 정답과 해설 단원 종합 문제 본문 82~84쪽 ③ ④ ② 44개 25ù ② 4개 ③ ④ ④ ① ② ⑴ 18p`cmÛ`` ⑵ 8p`cmÛ` ③ ④ ① ③ ⑤ ④ ㄱ, ㄴ, ㄹ ③ n각형의 대각선의 총 개수는 n(n-3) 2 개이다. 110ù+125ù+(85ù+∠a)+(∠b+80ù)+120ù 구하는 다각형을 n각형이라 하면 n-2=9 ∴ n=11 따라서 십일각형의 대각선의 총 개수는 11_(11-3) 2 =44(개) 구하는 다각형을 n각형이라 하면 =14,` n(n-3)=28=7_4 n(n-3) 2 ∴ n=7 따라서 칠각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 의 개수는 `7-3=4(개) 오각형의 내각의 크기의 합은 180ù_(5-2)=540ù 이므로 150ù+(∠x-10ù)+90ù+∠x+120ù=540ù 2∠x=190ù ∴ ∠x=95ù ACÓ=BCÓ이므로 ∠A=∠B 이때 ∠A+∠B=124ù이므로 2∠B=124ù ∴ ∠B=62ù ADÓ=DCÓ이므로 ∠DAC=∠DCA= _(180ù-110ù)=35ù ;2!; ADÓBCÓ이므로 ∠ACB=∠DAC=35ù(엇각) ∴ ∠BAC=180ù-(55ù+35ù)=90ù 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으 면 육각형이고 육각형의 내각의 크 기의 합은 180ù_(6-2)=720ù 이므로 (cid:18)(cid:18)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:20)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:19)(cid:17)(cid:177) (cid:25)(cid:17)(cid:177) (cid:18)(cid:19)(cid:22)(cid:177) (cid:25)(cid:22)(cid:177) (cid:67)(cid:89) (cid:66) +130ù=720ù ∴ ∠a+∠b=70ù 이때 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠x=180ù-(∠a+∠b)=180ù-70ù=110ù 오른쪽 그림과 같이 보조선을 그 으면 ∠ f+∠g=∠h+∠i 이므로 (cid:66) (cid:67) (cid:70) (cid:73) (cid:74) (cid:69) (cid:71) (cid:72) (cid:68) ∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠ f+∠g =∠a+∠b+∠c+∠d+∠e+∠h+∠i`` =(오각형의 내각의 크기의 합) =180ù_(5-2)=540ù BDÓ=CDÓ이므로 ∠DCB=∠DBC=∠x이고, ∠ADC =∠DBC+∠DCB =∠x+∠x=2∠x 또, ACÓ=CDÓ이므로 ∠CAD=∠ADC=2∠x 이때 ∠ABC+∠CAB=∠ACE이므로 ∠x+2∠x=111ù, 3∠x=111ù ∴ ∠x=37ù ;2!;∠B+∠x= ;2!;∠ACE이므로 ∠x= ;2!;∠ACE- ;2!;∠B= ;2!; (∠ACE-∠B) 이때 ∠A+∠B=∠ACE이므로 ∠A=∠ACE-∠B ∴ ∠x= ;2!;∠A= ;2!; _50ù=25ù 외각의 크기의 합은 360ù이므로 (180ù-90ù)+70ù+40ù+30ù+80ù+(180ù-∠x) =360ù ∴ ∠x=130ù II 평면도형 29 마찬가지로 △ADE에서 AEÓ=DEÓ이므로 ∠ADO=∠DAO=36ù 정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù △ABE에서 `ABÓ=AEÓ이므로 ∠AEB= _(180ù-108ù)=36ù ;2!; ∠DAE=36ù 따라서 △AEF에서 ∠x=180ù-(36ù+36ù)=108ù 구하는 다각형을 정n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1800ù ∴ n=12 따라서 정십이각형의 한 외각의 크기는 360ù 12 =30ù 구하는 다각형을 정n각형이라 하면 (한 외각의 크기)=180ù_;9@;=40ù이므로 360ù n =40ù ∴ n=9 따라서 정구각형이다. 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면 ADÓOCÓ이므로 ∠DAO =∠COB =36ù(동위각) OAÓ=ODÓ이므로 (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:37) (cid:36) (cid:18)(cid:17)(cid:25)(cid:177) (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:34) (cid:48) (cid:20)(cid:23)(cid:177) (cid:19)(cid:76)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) 따라서 ∠AOD=180ù-(36ù+36ù)=108ù이므로 AD`:`µ BC=∠AOD`:`∠BOC에서 µAD`:`2p=108`:`36, µAD`:`2p=3`:`1 ∴ µAD=6p`cm ⑴ 중심각의 크기가 90ù이고, 반지름의 길이가 12`cm 인 부채꼴의 넓이에서 반지름의 길이가 6`cm인 반원의 넓이를 빼면 되므로 p_12Û`_ ;3»6¼0; - ;2!; _p_6Û`=36p-18p =18p(cmÛ`) ⑵ 오른쪽 그림과 같이 이동시키 (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 면 어두운 부분의 넓이는 반지 름의 길이가 4`cm인 반원의 (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 넓이와 같으므로 µ ⑤ 한 원에서 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하 지 않는다. _p_4Û`=8p(cmÛ`) ;2!; ㄷ. △OCD<4△OAB 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 어두운 부분의 둘레의 길이는 중심각의 크기가 `90ù 이고, 반지름의 길이가 9`cm인 부채꼴 8개의 호의 중심각의 크기를 ∠x라 하면 2p_45_ =30p ∴ ∠x=120ù ;36{0; 길이의 합과 같으므로 8_ 2p_9_ =36p(cm) { ;3»6¼0;} 30 정답과 해설 III 입체도형 1 다면체와 회전체 주제별 실력다지기 ②, ⑤ ④, ⑤ ⑤ 1 구각뿔, 10개, 18개 팔각뿔대 ③ ④ ③ 10 ④ ③ ⑤ ①, ④ 정이십면체 직사각형 ④ 마름모 이등변삼각형 풀이 참조 ② ⑴ 꼭짓점 F ⑵ 모서리 GF ⑴ 정십이면체, 꼭짓점의 개수：20개, 모서리의 개수：30개 ⑵ 꼭짓점 C, 꼭짓점 F 구, 원뿔대, 원뿔, 원기둥 ③ ①, ② ⑤ ③ ④ ④ ③, ④ ⑴ 풀이 참조 ⑵ 12`cmÛ` ⑶ p`cmÛ` ① 49p`cmÛ`, 9p`cmÛ` :Á2¢5¢: 풀이 참조, (22p+22)`cm 50 ⑤ ⑤ ④ ③ ③ ② ⑤ ③ ③ 본문 88~99쪽 ③ ③ ③ ② ② 풀이 참조 ② 각뿔대에서 평행한 면은 두 밑면 1쌍이다. ③ 육각뿔의 꼭짓점의 개수는 7개이다. ⑤ n각뿔대의 모서리의 개수는 3n개, n각뿔의 모서 리의 개수는 2n개이므로 n각뿔대의 모서리의 개 구하는 다면체의 밑면을 n각형이라 하면 밑면의 대 수가 항상 많다. 각선의 개수가 9개이므로 사각기둥은 육면체, 오각뿔대는 칠면체, 육각뿔은 칠면체이다. =9, n(n-3)=18=6_3 n(n-3) 2 ∴ n=6 따라서 육각뿔대이므로 면의 개수는 `8개이다. 즉, ⑤ 사각기둥의 옆면의 모양은 직사각형이다. 팔면체이다. 사각뿔대의 면의 개수는 6개이므로 a=6 사각뿔의 면의 개수는 5개이므로 b=5 ∴ a-b=6-5=1 ㄴ. 각뿔대의 옆면의 모양은 모두 사다리꼴이다. ㄹ. n각뿔대의 모서리의 개수는 3n개이다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ의 3개이다. 팔각뿔대의 면의 개수는 10개, 모서리의 개수는 24 이다. 개, 꼭짓점의 개수는 16개이므로 x=10, y=24, z=16 ∴ x+y+z=10+24+16=50 옆면이 모두 삼각형이므로 각뿔이다. 또, 십면체이므로 면의 개수가 10개, 즉 구각뿔이다. 구각뿔의 꼭짓점의 개수는 9+1=10(개), 모서리의 개수는 9_2=18(개)이다. (가), (나)에서 두 밑면이 평행하고 모양이 같지만 크 기가 다르므로 각뿔대이다. (다)에서 꼭짓점의 개수가 16개인 각뿔대는 팔각뿔대 (가)에서 두 밑면이 평행하고, 옆면은 모두 사다리꼴 이므로 각뿔대이다. ② 십각기둥의 모서리의 개수는 30개, 면의 개수는 12개이고, 십각뿔대의 모서리의 개수는 30개, 면 (나)에서 꼭짓점의 개수가 12개이므로 구하는 각뿔 대를 n각뿔대라 하면 2n=12에서 n=6 의 개수는 12개이다. 따라서 십각뿔대와 십각기 즉, 육각뿔대이다. 둥의 모서리의 개수와 면의 개수는 각각 같다. 육각뿔대의 모서리의 개수는 6_3=18(개), 면의 ③ 십각뿔대의 두 밑면은 모양이 같지만 크기가 다르 개수는 6+2=8(개)이므로 x=18, y=8 므로 합동이 아니다. ∴ x-y=18-8=10 III 입체도형 31 ① 삼각뿔대의 모서리의 개수는 9개이다. ② 사각기둥의 모서리의 개수는 12개이다. ③ 칠각뿔의 모서리의 개수는 14개이다. ④ 정사각뿔의 모서리의 개수는 8개이다. ⑤ 오각뿔대의 모서리의 개수는 15개이다. 면의 모양이 정삼각형인 정다면체 중에서 한 꼭짓점 에 모이는 면의 개수가 5개인 것은 정이십면체이다. BDÓ=BGÓ=DGÓ이므로 △BDG는 정삼각형이다. ∴ ∠BDG=60ù 정오각형 한 개에는 5개의 변이 있고, 정육각형 한 개에는 6개의 변이 있다. 그런데 한 모서리에는 이웃 하는 두 면이 있으므로 모두 두 번을 세게 된다. 오른쪽 그림에서 단면의 모양은 직 사각형이다. 따라서 모서리 전체의 개수는 (5_12+6_20)Ö2=90(개) n각뿔의 모서리의 개수는 2n개이므로 2n=14에서 n=7, 즉 모서리의 개수가 14개인 각뿔은 칠각뿔이 다. 칠각뿔의 면의 개수는 8개, 꼭짓점의 개수는 8개 이므로 x=8, y=8 ∴ x+y=8+8=16 ① 정다면체는 5가지뿐이다. ② 정사면체의 꼭짓점의 개수는 4개이다. ③ 정이십면체의 모서리의 개수는 30개이다. ⑤ 각 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체이다. ③ 정다면체의 면의 모양은 정삼각형, 정사각형, 정 오각형뿐이다. ④ 정십이면체의 면의 개수는 12개이고, 정이십면체 의 꼭짓점의 개수는 12개이므로 같다. ⑤ 정십이면체의 모든 면은 정오각형이고, 정오각형 의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù이다. 면의 모양이 정오각형이고 꼭짓점의 개수가 20개, 한 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 3개인 정다면체는 정십이면체이다. 32 정답과 해설 (cid:34) (cid:38) (cid:34) (cid:43) (cid:42) (cid:38) (cid:36) (cid:40) (cid:36) (cid:40) (cid:34) (cid:42) (cid:36) (cid:38) (cid:35) (cid:39) (cid:35) (cid:39) (cid:35) (cid:39) (cid:37) (cid:41) (cid:37) (cid:41) (cid:37) (cid:41) 오른쪽 그림에서 단면의 모양은 오 각형이다. 오른쪽 그림과 같이 세 점 B, I, H 를 지나는 평면은 FGÓ의 중점 M을 지난다. 이때 BIÓ=IHÓ=HMÓ=BMÓ이므로 (cid:46) (cid:40) 사각형 IBMH는 마름모이다. 참고 사각형 IBMH는 IMÓ+BHÓ 즉, 두 대각선의 길이가 같지 않으므로 정사각형이 아니다. 두 선분 AM과 DM의 길이가 같으므로 △AMD는 이등변삼각형이다. 오른쪽 그림과 같이 세 점 M, N, L을 지나는 평면은 BDÓ의 중점 O MNÓ=NLÓ=LOÓ=OMÓ이고 를 지난다. 이때 LMÓ=NOÓ이다. (cid:34) (cid:47) (cid:48) (cid:46) (cid:37) (cid:35) (cid:45) (cid:36) 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정육면체로 오른 쪽 그림과 같다. (cid:34)(cid:9)(cid:46)(cid:13)(cid:42)(cid:10) (cid:43)(cid:9)(cid:45)(cid:10) (cid:35) (cid:9)(cid:39)(cid:13)(cid:41)(cid:10) (cid:47) (cid:44) (cid:40) (cid:37) ⑤ 꼭짓점 B와 겹치는 꼭짓 (cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10) 점은 꼭짓점 F 또는 꼭짓점 H이다. 정팔면체의 각 면의 중심을 연결하여 만든 정다면체 즉, 사각형 MNLO는 네 변의 길이가 모두 같고, 두 대각선의 길이가 같으므로 정사각형이다. 는 정육면체이다. ① 각 면의 모양은 정사각형이다. ④ 면의 개수는 6개이다. 주어진 사다리꼴을 직선 l을 회전 축으로 하여 1회전 시켰을 때 생기 는 회전체는 원뿔대이므로 그 전개 도는 오른쪽 그림과 같다. ④ CDÓ는 회전체의 모선이다. 회전체의 겨냥도를 그릴 때에는 주어 진 평면도형을 회전축에 대하여 대칭 이동시킨 다음 입체화한다. 따라서 오 른쪽 그림과 같은 회전체가 생긴다. 회전체의 겨냥도를 보고 회전시킨 평 면도형을 구할 때에는 회전체를 회전 축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 을 찾는다. ;2!; 따라서 구하는 단면은 오른쪽 그림과 같다. (cid:77) (cid:77) 주어진 전개도로 정사면체를 만들면 오른쪽 그림과 같으므 로 AFÓ와 꼬인 위치에 있는 (cid:34)(cid:9)(cid:38)(cid:10) 모서리는 BCÓ(또는 DCÓ)이다. (cid:35)(cid:9)(cid:37)(cid:10) (cid:39) (cid:36) (cid:37) (cid:42) (cid:34)(cid:9)(cid:40)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:39)(cid:10) (cid:43)(cid:9)(cid:41)(cid:10) (cid:36)(cid:9)(cid:38)(cid:10) 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정팔면체로 오른 쪽 그림과 같다. ⑴ 꼭짓점 B와 겹치는 꼭짓점 은 꼭짓점 F이다. ⑵ 모서리 AB와 겹치는 모서리는 모서리 GF이다. ⑴ 주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 정십이 면체이다. 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20개, 모서리의 개수는 30개이다. ⑵ 한 꼭짓점에 3개의 면이 모이므로 꼭짓점 B와 꼭 (cid:77) 짓점 C, 꼭짓점 F가 만난다. ㄱ. 회전체는 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회 전 시킬 때 생기는 입체도형이므로 구, 원기둥, 원뿔, 원뿔대를 포함하여 무수히 많다. ㄷ. 원뿔을 평면으로 자른 단면 중 사각형 모양의 단 면은 없다. ㅁ. 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 모양은 항상 원이지만 모두 합동은 아니다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. 사각뿔대, 오각기둥, 정십이면체, 육각뿔은 다면체 이다. 즉, 회전체는 구, 원뿔대, 원뿔, 원기둥이다. ① 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 ② 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 은 등변사다리꼴이다. 이등변삼각형이다. 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 모양은 다 음과 같다. ① ③ ② ④ 주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 원뿔이다. 따라서 원뿔의 전개도에서 옆면의 모양은 부채꼴이다. 경우는 없다. ⑤ 원뿔을 평면으로 자른 단면의 모양이 사다리꼴인 III 입체도형 33 ③ 원뿔 - 이등변삼각형 ④ 반구 - 반원 따라서 구하는 넓이는 반지름의 길이가 `cm :Á5ª: ① ③ ② ⑤ ④ 원뿔대를 평면으로 자른 단면의 모양이 삼각형인 경우는 없다. 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 그 단 면은 항상 선대칭도형이다. ③ 선대칭도형이 아니므로 단면이 될 수 없다. 주어진 전개도로 만들어지는 회전체는 원기둥이다. ① 두 밑면은 서로 합동이다. ② 어떤 평면으로 잘라도 자른 단면이 항상 원인 회 전체는 구이다. ④ 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 원이다. ⑤ 회전체의 이름은 원기둥이다. 회전체가 속이 뚫린 상태이므로 회전축에 수직인 평 면으로 자른 단면은 다음 그림과 같은 모양이다. ⑶ 회전체를 회전축에 수직인 평면 으로 자른 단면의 모양은 모두 원이다. 이 중 넓이가 가장 큰 경 우는 오른쪽 그림과 같이 점 B에 서 ACÓ에 내린 수선의 발 H에 (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:35) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:41) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:34) (cid:36) 대하여 BHÓ를 반지름으로 하는 원일 때이다. 이때 △ABC= _3_4= _5_BHÓ ;2!; ;2!; ∴ BHÓ= `cm :Á5ª: 인 원의 넓이이므로 p_ Û`= {:Á5ª:} :Á2¢5¢: p(cmÛ`) 단면의 모양은 윗변의 길이가 6`cm, 아랫변의 길이 가 8`cm, 높이가 6`cm인 등변사다리꼴이므로 넓이 는 ;2!; _(6+8)_6=42(cmÛ`) 회전축에 수직인 평면으로 자 른 단면은 모두 원으로 넓이가 (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 가장 큰 경우는 반지름의 길이 가 7`cm일 때이므로 이때의 넓 (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 넓이가 가장 작은 경우는 반지름의 길이가 3`cm일 이는 p_7Û`=49p(cmÛ`) 때이므로 이때의 넓이는 p_3Û`=9p(cmÛ`) 과 같다. (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:18)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:9318) 회전체는 원뿔대이므로 전개도를 그리면 다음 그림 ⑴ 회전체의 겨냥도를 그리면 오른쪽 그림과 같다. (cid:25)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ⑵ 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같 (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 고, 그 넓이는 2개의 직각삼각형의 넓이의 합이다. ∴ _3_4 _2=12(cmÛ`) {;2!; } 옆면의 둘레의 길이는 두 모선의 길이와 밑면인 두 원의 둘레의 길이의 합과 같으므로 (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (11+11)+{(2p_3)+(2p_8)} =22+6p+16p =22p+22(cm) 34 정답과 해설 본문 102~115쪽 ① 겉넓이：96`cmÛ`, 부피：63`cmÜ`` 312`cmÜ` ⑤ 36`cmÜ` 408`cmÛ` ③ 겉넓이：68p`cmÛ`, 부피：60p`cmÜ` 168p`cmÛ` 겉넓이：(112p+120)`cmÛ`, 부피：210p`cmÜ` ③ ④ (168-28p)`cmÜ` (192-2p)`cmÜ` (96-8p)`cmÜ` 겉넓이：182p`cmÛ`, 부피：210p`cmÜ` ③ 겉넓이：(170p+132)`cmÛ`, 부피：(300p-72)`cmÜ` 2 입체도형의 겉넓이와 부피 주제별 실력다지기 ④ ① ② ② 3번 `cm :ª4°: p`cmÜ` ;:@3%:^; ㉠ 3 ㉡㉢ 4 ;3@; ② ③ ④ ④ 6 ⑤ ③ ③ ③ ③ ① ③ ① ③ ① ② ② ④ ④ ④ ;6!; ② 겉넓이：153p`cmÛ`, 부피：252p`cmÜ` ⑤ 구의 부피：36p`cmÜ`, 원뿔의 부피：18p`cmÜ` 겉넓이：90p`cmÛ`, 부피：84p`cmÜ` 36p`cmÛ` (48p+48)`cmÛ` 20분 ⑴ 140p`cmÛ` ⑵ 1`:`7 14p`cmÛ` ③ 겉넓이：96p`cmÛ`, 부피：80p`cmÜ` 겉넓이：210p`cmÛ`, 부피：200p`cmÜ` ④ p ;:@3):*; p`cmÜ` ;:#3(:@; 78p`cmÜ` (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = [;2!; _(4+8)_3 _2 ] =36+200=236(cmÛ`) +(3+4+5+8)_10 오각기둥의 높이를 h`cm라 하면 (옆넓이)=(5+4+5+8+6)_h 168=28h ∴ h=6 ∴ (부피)=(밑넓이)_(높이) 겹치는 면을 제외하면 겉넓이는 정육면체의 면 14개 의 넓이의 합과 같으므로 (겉넓이)=(2_2)_14=56(cmÛ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = 8_8- _8_3 _2 ;2!; } { +(8+8+8+5+5)_11 =104+374=478(cmÛ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = 3_5+ _3_4 _2 ;2!; } { +(3+4+3+3+5)_3 =42+54=96(cmÛ`) (부피)=(밑넓이)_(높이) = 3_5+ _3_4 _3=63(cmÜ`) { ;2!; } = [;2!; _6_8+ _(4+10)_4 _6 ;2!; ] =(24+28)_6=312(cmÜ`) 사각기둥의 높이를 `h`cm라 하면 (부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 308= _6_8+ _10_4 _h ;2!; } {;2!; 44h=308 ∴ h=7 따라서 구하는 높이는 7`cm이다. 정팔면체는 2개의 사각뿔을 붙여 놓은 꼴이고 (사각뿔의 부피)= _ ;3!; [{;2!; _6_3 _2 _3 } ] =18(cmÜ`) 이므로 (정팔면체의 부피)=(사각뿔의 부피)_2 =18_2=36(cmÜ`) III 입체도형 35 (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = {;2!; } _6_8 _2+(6+8+10)_15 =48+360=408(cmÛ`) = p_6Û`_ { _2 ;[email protected]!0);} + (6_10)_2+ 2p_6_ [ { ;[email protected]!0);} _10 ] 사각형 ABCD는 사다리꼴이므로 높이를 h`cm라 하면 CDÓ=6`cm이므로 (사각형 ABCD의 넓이)= _(6+16)_h ;2!; 11h=132 ∴ h=12 ∴ (삼각기둥의 부피)= _5_12 _6 {;2!; } =180(cmÜ`) 지름의 길이가 10`cm이므로 반지름의 길이는 5`cm 이다. ∴ (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) =(p_5Û`)_2+(2p_5)_8 =50p+80p=130p(cmÛ`) (겉넓이) =32p+24p+12p=68p(cmÛ`) (부피)=(p_4Û`)_3+(p_2Û`)_3 =48p+12p=60p(cmÜ`) 원기둥의 높이를 h`cm라 하면 (부피)=p_6Û`_h이므로 288p=36ph ∴ h=8 =42p+120+70p =112p+120(cmÛ`) (부피)=(밑넓이)_(높이) = p_6Û`_ { ;[email protected]!0);} _10 =210p(cmÜ`) 밑면인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 (부피)=(밑넓이)_(높이)이므로 48p= p_4Û`_ _9 ∴ x=120 { ;36{0;} 따라서 밑면인 부채꼴의 중심각의 크기는 120ù이다. (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) =(10_10-6_2)_2 +{(10+10+10+10)_10 +(2+6+2+6)_10} =176+400+160=736(cmÛ`) =6_4_7-p_2Û`_7 =168-28p(cmÜ`) (부피)=(직육면체의 부피)-(반원기둥의 부피) =12_4_4- p_1Û`_ { _4 ;2!;} =192-2p(cmÜ`) =(p_4Û`)_2+(2p_4)_3+(2p_2)_3 (부피)=(사각기둥의 부피)-(원기둥의 부피) ∴ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이) (부피)=(각기둥의 부피)-(원기둥의 부피) =(p_6Û`)_2+(2p_6)_8 =72p+96p=168p(cmÛ`) = [;2!; _(3+5)_3 _8-p_1Û`_8 ] =96-8p(cmÜ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = p_4Û`_ { _2 ;3¤6¼0;} + (4_5)_2+ 2p_4_ [ { ;3¤6¼0; _5 }] = :Á3¤: p+40+ p :ª3¼: =12p+40(cmÛ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) =(p_5Û`-p_2Û`)_2 +(2p_5_10+2p_2_10) =42p+100p+40p=182p(cmÛ`) (부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피) =p_5Û`_10-p_2Û`_10 =250p-40p=210p(cmÜ`) 36 정답과 해설 (부피)=(원기둥의 부피)-(삼각기둥의 부피) (작은 도형의 부피)= _ _4_2 } {;2!; ;3!; _6=8(cmÜ`) (부피)=(원기둥의 부피)-(정육면체의 부피) (부피)=(큰 뿔의 부피)-(작은 뿔의 부피) =p_6Û`_12-6_6_6 =432p-216(cmÜ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) = {(원의 넓이)-(삼각형의 넓이)}_2 +{(원기둥의 옆넓이) +(삼각기둥의 옆넓이)} = p_5Û`- _3_4 _2 ;2!; } { +{(2p_5_12)+(3+4+5)_12} =50p-12+120p+144 =170p+132(cmÛ`) =p_5Û`_12- _3_4_12 ;2!; =300p-72(cmÜ`) 붙어 있는 부분의 넓이를 제외한 정사각뿔의 겉넓이 와 직육면체의 겉넓이를 더하면 되므로 구하는 겉넓 이는 10_10_ _4 ;2!;} { +{10_10+(10+10+10+10)_12} =200+100+480=780(cmÛ`) (정사각뿔의 부피)= ;3!; _6_6_15=180(cmÜ`), (직육면체의 부피)=10_6_9=540(cmÜ`) 이므로 정사각뿔 모양의 그릇으로 물을 540Ö180=3(번) 부어야 한다. (사각뿔대의 부피) =(큰 사각뿔의 부피)-(작은 사각뿔의 부피) = _12_12_8- _x_x_4 ;3!; ;3!; =384- xÛ` ;3$; 이므로 336=384- xÛ`, xÛ`=48 ;3$; ;3$; xÛ`=36=6Û` ∴ x=6 = _7_7_(4+h)- _4_4_4=93 ;3!; ;3!; 이므로 3_93=49(4+h)-64, 49(4+h)=343 4+h=7 ∴ h=3`cm △BCD를 밑면이라 하면 높이는 CGÓ이므로 (삼각뿔 C-BDG의 부피)= _(밑넓이)_(높이) ;3!; = _ ;3!; {;2!; _8_4 _6 } =32(cmÜ`) (큰 도형의 부피) =(직육면체의 부피)-(작은 도형의 부피) =4_2_6-8=40(cmÜ`) 따라서 큰 도형의 부피는 작은 도형의 부피의 40Ö8=5(배)이다. (정육면체의 부피)=6_6_6=216(cmÜ`) (삼각뿔 `C-BGM의 부피)= _ ;3!; {;2!; _6_3 _6 } =18(cmÜ`) 따라서 나머지 부분의 부피는 216-18=198(cmÜ`) 이므로 삼각뿔 C-BGM과 나머지 부분의 부피의 비는 18`:`198=1`:`11 정육면체의 한 모서리의 길이를 `x라 하면 (부피)=x_x_x=xÜ`` 이므로 xÜ`=8=2Ü` ∴ x=2 따라서 작은 나무토막의 부피는 _ ;3!; {;2!; _1_1 _1= } ;6!; (부피)=(직육면체의 부피)-(자른 삼각뿔의 부피) =8_8_12- _ [;3!; {;2!; _4_3 _10 } ] =768-20=748(cmÜ`) III 입체도형 37 (삼각뿔 D-GEF의 부피)= _(삼각기둥의 부피) ;8!; (겉넓이)=(큰 원뿔의 옆넓이)+(작은 원뿔의 옆넓이) =p_3_8+p_3_4 =24p+12p=36p(cmÛ`) 이므로 _ _6_8_GEÓ } = ;8!; _ {;2!; ;3!; {;2!; _6_8 _10 } 8 GEÓ=30 `∴ GEÓ= cm :Á4°:` ∴ BGÓ=10- = :Á4°: :ª4°: (cm) (직육면체의 부피)=12_16_5=960(cmÜ`) (남은 물의 부피)= _ ;3!; {;2!; _12_5 _16 } =160(cmÜ`) 따라서 버려진 물의 양은 960-160=800(cmÜ`) (부피)= ;3!; _(원기둥의 부피)이므로 30p= _p_3Û`_h, 3ph=30p ` ;3!; ∴ h=10 이므로 (겉넓이)=prÛ`+p_r_2r=prÛ`+2prÛ`=3prÛ` 3prÛ`=12p, rÛ`=4=2Û` ∴ r=2 (겉넓이)=(반원의 넓이)+(이등변삼각형의 넓이) +(부채꼴의 넓이) = ;2!; _(p_6Û`)+ _12_8 ;2!; + ;2!; _(p_6_10) =18p+48+30p =48p+48(cmÛ`) 원뿔 모양의 통의 부피는 _p_4Û`_15=80p(cmÜ`) ;3!; 1분에 4p`cmÜ`의 속력으로 물을 부으므로 물을 가득 채우는 데 80pÖ4p=20(분)이 걸린다. 원뿔의 밑면의 둘레의 길이가 2p_12=24p(cm) 이므로 원 O의 둘레의 길이는 24p_ =32p(cm) ;3$; 밑면인 원의 반지름의 길이를 `r`cm라 하면 부채꼴 이때 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 의 호의 길이와 원의 둘레의 길이가 같으므로 2pr=32p ∴ r=16 2p_12_ =2pr ∴ r=4 ;[email protected]); ∴ (겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) =p_4Û`+p_4_12 =16p+48p=64p(cmÛ`) 따라서 원뿔의 모선의 길이가 16`cm이므로 (겉넓이)=p_12Û`+p_12_16 =144p+192p =336p(cmÛ`) ① 모선의 길이는 10`cm이다. ⑴ (B의 겉넓이) ② (부채꼴의 호의 길이)=2p_6=12p(cm) =(p_4Û`+p_8Û`)+(p_8_10-p_4_5) ③ (옆넓이)=(부채꼴의 넓이)이므로 =80p+60p=140p(cmÛ`) p_6_10=60p(cmÛ`) ④ 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 호의 길이가 ⑵ (A의 부피)= _p_4Û`_3=16p(cmÜ`) ;3!; (B의 부피)=(큰 원뿔의 부피)-(A의 부피) 12p`cm이므로 2p_10_ =12p ∴ x=216 ;36{0; 따라서 중심각의 크기는 216ù이다. ⑤ (부피)= _p_6Û`_8=96p(cmÜ`) ;3!; 38 정답과 해설 = ;3!; _p_8Û`_6-16p =128p-16p=112p(cmÜ`) 따라서 A와 B의 부피의 비는 16p`:`112p=1`:`7 이므로 윗면인 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 작은 부채꼴의 호의 길이가 2p_3_ =2p ;[email protected]); 하면 2pr=2p `∴ r=1 또, 큰 부채꼴의 호의 길이가 2p_6_ =4p ;[email protected]); 하면 2pr'=4p ∴ r'=2 ∴ (원뿔대의 겉넓이) (부피)= _ ;8&; {;3$; } p_6Ü` =252p(cmÜ`) (반구 모양의 그릇의 부피) = p_3Ü` _ =18p(cmÜ`) {;3$; } ;2!; (원기둥 모양의 그릇의 부피) =p_6Û`_6=216p(cmÜ`) 이므로 아랫면인 큰 원의 반지름의 길이를 r'`cm라 양의 통에 물이 가득 찬다. 따라서 물을 216pÖ18p=12(번) 부어야 원기둥 모 =(두 원의 넓이의 합)+{(큰 부채꼴의 넓이) (나) (구의 부피)= prÜ`, -(작은 부채꼴의 넓이)} =(p_1Û`+p_2Û`)+(p_2_6-p_1_3) =5p+9p=14p(cmÛ`) (가) (뿔의 부피)= _(기둥의 부피)이므로 ㉠=3 ;3!; ;3$; (원기둥의 부피)=prÛ`_2r=2prÜ`` 따라서 (구의 부피)= _(원기둥의 부피) ;3@; 이므로 ㉡= ;3@; (다) (구의 겉넓이)=4prÛ`, (원의 넓이)=prÛ` 따라서 (구의 겉넓이)=4_(원의 넓이)이므로 ㉢ =4 (원뿔 모양의 그릇의 부피)= _p_2Û`_9 ;3!; =12p(cmÜ`) 원기둥 모양의 그릇에서 물이 채워진 부분의 부피는 p_2Û`_x=4px(cmÜ`) 따라서 4px=12p이므로 다른 풀이 (원뿔의 부피)`:`(원기둥의 부피)=1`:`3 이므로 원뿔 모양의 그릇에 담긴 물을 모두 원기둥 모양의 그릇에 부으면 원기둥 모양의 그릇의 높이의 만큼 물이 채워진다. ;3!; ∴ x=9_ =3 ;3!; (구의 부피)= p_6Ü``=288p(cmÜ`) ;3$; (원기둥의 부피)=p_6Û`_12=432p(cmÜ`) 따라서 구의 부피는 원뿔의 부피의 =2(배), 원기둥의 부피는 원뿔의 부피의 =3(배)이다. 288p 144p 432p 144p III 입체도형 39 구의 반지름의 길이를 `r`cm라 하면 단면인 원의 넓 x=3 반지름의 길이가 `6`cm인 구 A에서 (겉넓이)=4p_6Û`=144p(cmÛ`), (부피)= p_6Ü`=288p(cmÜ`) ;3$; ;3$; 또, 반지름의 길이가 `3`cm인 구 B에서 (겉넓이)=4p_3Û`=36p(cmÛ`), (부피)= p_3Ü`=36p(cmÜ`) 따라서 a= =4, b= =8이므로 144p 36p 288p 36p b-a=8-4=4 이가 16p`cmÛ`이므로 prÛ`=16p, rÛ`=16=4Û` ∴ r=4 ∴ (부피)= p_4Ü`= p(cmÜ`) ;3$; :;ª;3%;¤: (겉넓이)=(반구의 겉넓이)+(원뿔의 옆넓이) = ;2!; _(4p_3Û`)+p_3_5 =18p+15p=33p(cmÛ`) = _ ;2!; {;3$; p_3Ü` + _p_3Û`_4 } ;3!; =18p+12p=30p(cmÜ`) (겉넓이)= ;8&; _(4p_6Û`)+ p_6Û`_ { _3 ;3»6¼0;} =126p+27p=153p(cmÛ`) (부피)=(반구의 부피)+(원뿔의 부피) (원뿔의 부피)= ;3!; _p_6Û`_12=144p(cmÜ`) 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 원기 둥의 높이는 2r`cm이므로 옆넓이는 2pr_2r=36p, rÛ`=9=3Û` ` ∴ r=3 오른쪽 그림과 같이 회전시켜 서 생긴 입체도형은 원뿔대이 므로 (겉넓이) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) ∴ (구의 부피)= p_3Ü`=36p(cmÜ`), = (두 원의 넓이의 합) (원뿔의 부피)= _p_3Û`_6=18p(cmÜ`) ;3$; ;3!; +{(큰 원뿔의 옆넓이)-(작은 원뿔의 옆넓이)} =(p_6Û`+p_3Û`)+(p_6_10-p_3_5) =45p+45p=90p(cmÛ`) (부피)=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피) = ;3!; _p_6Û`_8- _p_3Û`_4 ;3!; =96p-12p=84p(cmÜ`) 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입 체도형은 오른쪽 그림과 같다. ∴ (겉넓이) =p_3_5+p_3_7 =15p+21p=36p(cmÛ`) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:24)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 주어진 도형을 회전시켜 얻 은 입체도형은 오른쪽 그림 (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 과 같다. (겉넓이) (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) = (p_4Û`)_2+(2p_4_6+2p_2_4) =32p+48p+16p=96p(cmÛ`) =p_4Û`_6-p_2Û`_4 =96p-16p=80p(cmÜ`) 정육면체 모양의 상자의 한 모서리의 길이를 a`cm 라 하면 (상자의 겉넓이)=6_a_a=216 aÛ`=36=6Û` ∴ a=6 따라서 상자의 한 모서리의 길이가 6`cm이므로 유 리 구슬의 반지름의 길이는 3`cm이다. ∴ (유리 구슬의 겉넓이)=4p_3Û`=36p(cmÛ`) 공 한 개의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 공 한 개의 겉넓이는 4prÛ`이므로 4prÛ`=100p, rÛ`=25=5Û` ∴ r=5 따라서 원기둥 모양의 통의 밑면의 반지름의 길이는 5`cm이고, 높이는 5_4=20(cm)이다. ∴ (통의 겉넓이)=(p_5Û`)_2+2p_5_20 =50p+200p=250p(cmÛ`) 둥의 높이는 `6r`cm이므로 부피는 p_rÛ`_6r=48p, rÜ`=8=2Ü` ` ∴ r=2 ∴ (구 한 개의 부피)= p_2Ü`= p(cmÜ`) ;3$; :£3ª: 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 원기 (부피)= (큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피) 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입 체도형은 오른쪽 그림과 같다. ② (겉넓이)=(두 밑넓이의 합)+(옆넓이) (겉넓이) =(p_10Û`+p_5Û`) =p_5Û`+2p_5_12 +(p_10_26-p_5_13) +p_5_13 =125p+195p=320p(cmÛ`) =25p+120p+65p=210p(cmÛ`) ③ (부피)=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피) (부피)=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피) (cid:18)(cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) = ;3!; _p_10Û`_24- _p_5Û`_12 ;3!; =800p-100p=700p(cmÜ`) =p_5Û`_12- _p_5Û`_12 ;3!; =300p-100p=200p(cmÜ`) 40 정답과 해설 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입체도형은 오른쪽 그림과 같 다. (부피) (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:89)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피) =p_6Û`_x- _p_3Û`_x ;3!; =36px-3px=33px(cmÜ`) 따라서 33px=198p이므로 x=6` 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입체 도형은 오른쪽 그림과 같다. (부피)= (큰 구의 부피) -(작은 구의 부피) = ;3$; p_5Ü``- p_3Ü`` ;3$; = :°;3);¼: p- :Á;3);¥: p= :£;3(;ª: p(cmÜ`) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입 체도형은 오른쪽 그림과 같다. (cid:19) (부피)= (위쪽 원뿔의 부피) +(원기둥의 부피) -(아래쪽 원뿔의 부피) (cid:21) (cid:21) (cid:19) 다. (부피) 주어진 도형을 회전시켜 얻은 입체도형은 오른쪽 그림과 같 (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) = ;3!; _p_4Û`_2+p_4Û`_4- _p_2Û`_4 ;3!; = :£3ª: p+64p- p= :Á3¤: :ª;3);¥: p (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =(원뿔의 부피)-(반구의 부피) = _p_6Û`_8- ;3!; p_3Ü` _ } ;2!; {;3$; =96p-18p=78p(cmÜ` 단원 종합 문제 본문 116~118쪽 ③ ①, ④ ②, ④ ① 정팔면체, 6개 풀이 참조 174`cmÛ` ③ ⑴ 320`cmÜ`` ⑵ 120`cmÜ` ① ① ② ④ 24p`cmÛ` 겉넓이：90p`cmÛ`, 부피：100p`cmÜ` 840p`cmÜ`` ⑴ 184`cmÛ`` ⑵ 38p`cmÛ` ⑴ 겉넓이：108p`cmÛ``, 부피： p`cmÜ` ⑵ 겉넓이：(35p+20)`cmÛ``, 부피：25p`cmÜ` 260p`cmÛ` ;:%3!:@; ① ③ 사각기둥은 육면체이다. n각뿔대의 모서리의 개수는 3n개이므로 ①, ④ 원뿔, 구는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체 도형이 아니다. ② 정육면체의 각 면의 모양은 정사각형이다. ④ 정십이면체의 각 면의 모양은 정오각형이다. 3n=15에서 n=5 즉, 오각뿔대이다. 따라서 면의 개수는 7개, 꼭짓점의 개수는 10개이다. 주어진 전개도로 만들 수 있는 정다면체는 정팔면체 로 꼭짓점의 개수는 6개이다. BDÓ=BGÓ=GDÓ이므로 단면의 모양은 정삼각형이다. III 입체도형 41 모든 각뿔대의 옆면은 사다리꼴이다. 원뿔을 평면으로 자른 단면의 모양은 다음과 같다. ⇨ ⇨ ⇨ ⇨ (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) =(6_6-3_3)_2 +(6+6+3+3+3+3)_5 =54+120=174(cmÛ`) (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) =(2_2)_2+(2+2+2+2)_x =8+8x 이므로 ∴ x=8 8+8x=72, 8x=64 ` ⑴ (부피)=(밑넓이)_(높이) = {;2!; _8_3+ _8_5 _10 ;2!; } =(12+20)_10=320(cmÜ`) ⑵ (부피)=(밑넓이)_(높이) 직육면체를 세 꼭짓점 B, E, G를 지나는 평면으로 잘라서 생기는 삼각뿔의 밑면을 직각을 낀 두 변의 길이가 3`cm, 4`cm인 직각삼각형으로 놓으면 높이 가 5`cm이므로 (부피)= _ ;3!; {;2!; _3_4 _5=10(cmÜ`) } 42 정답과 해설 원기둥의 높이를 `x`cm라 하면 (부피)=p_4Û`_x=16px 이므로 16px=128p ∴ x=8 따라서 원기둥의 높이가 8`cm이므로 (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이) =(p_4Û`)_2+(2p_4)_8 =32p+64p =96p(cmÛ`) ACÓ를 회전축으로 하여 1회전 시 켰을 때 생기는 입체도형은 오른 (cid:21)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 쪽 그림과 같은 원뿔이다. ∴ (겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) (cid:22)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:20)(cid:65)(cid:68)(cid:78) =p_3Û`+p_3_5 =9p+15p=24p(cmÛ`) (겉넓이)=p_5Û`+p_5_13=25p+65p =90p(cmÛ`) (부피)= _p_5Û`_12=100p(cmÜ`) ;3!; (cid:23)(cid:65)(cid:68)(cid:78) (cid:18)(cid:19)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 회전체는 오른쪽 그림과 같은 (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 원뿔대이므로 (부피)=(큰 원뿔의 부피) (cid:18)(cid:17)(cid:65)(cid:68)(cid:78) -(작은 원뿔의 부피) (부피)= _p_12Û`_20 ;3!; - ;3!; _p_6Û`_10 =960p-120p=840p(cmÜ`) =(8_8+6_6)+ _(6+8)_3 _4 [;2!; ] =100+84=184(cmÛ`) ⑵ (겉넓이) =(두 원의 넓이의 합)+{(큰 원뿔의 옆넓이)` -(작은 원뿔의 옆넓이)} =(p_2Û`+p_4Û`)+(p_4_6-p_2_3) =20p+18p=38p(cmÛ`) = [;2!; _(3+6)_2+ _5 _(4+6)_3 ] ;2!; =(9+15)_5=120(cmÜ`) ⑴ (겉넓이) =(두 밑넓이의 합)+(옆넓이) ⑴ (겉넓이) (부피)=(큰 원기둥의 부피)-(작은 원기둥의 부피) = _(4p_4Û`)+2p_4_7+p_4_5 ;2!; =32p+56p+20p=108p(cmÛ`) (부피) =p_8Û`_h-p_2Û`_h =60ph 따라서 60ph=420p이므로 h=7 ∴ (겉넓이) = _ ;2!; {;3$; } p_4Ü` +p_4Û`_7+ _p_4Û`_3 ;3!; =(밑넓이)_2+(큰 원기둥의 옆넓이) = :Á;3@;¥: p+112p+16p = :°;3!;ª: p(cmÜ`) ⑵ (겉넓이) +(작은 원기둥의 옆넓이) =(p_8Û`-p_2Û`)_2+2p_8_7+2p_2_7 =120p +112p+28p =260p(cmÛ`) = p_4Û`_ -p_2Û`_ { ;3!6%0); _2 ;3!6%0);} + 2p_4_ +2p_2_ +2+2 _5 { ;3!6%0); ;3!6%0); } (구의 부피)= ;3$; p_5Û`= p(cmÜ`) :°;3);¼: (원기둥의 부피)=p_5Û`_10=250p(cmÜ`) (부피)=p_4Û`_ _5-p_2Û`_ ;3!6%0); _5 ;3!6%0); 다른 풀이 =10p+25p+20 =35p+20(cmÛ`) = :Á;3);¼: p- p= p :¦3°: :ª3°: =25p(cmÜ`) 따라서 남아 있는 물의 부피는 250p- p= :°;3);¼: :ª;3%;¼: p(cmÜ`) (구의 부피)`:`(원기둥의 부피)=2`:`3이므로 원기둥 모양의 통에 남아 있는 물의 부피는 원기둥의 부피의 이다. ;3!; 따라서 남아 있는 물의 부피는 큰 원기둥의 높이를 h`cm라 하면 p_5Û`_10_ = ;3!; :ª;3%;¼: p(cmÜ`) III 입체도형 43 IV 통계 1 도수분포표와 그래프 주제별 실력다지기 본문 123~139쪽 ③, ④ 해설 참조, 75`% 35자루 ②, ⑤ A=10, B=50 A=6, B=3 ④ ⑤ 40`% 20명 12개 여학생 22.5회 ①, ④ ④ ② ③ ③ ④ ① ①, ④ 2 ③, ⑤ 120명 ② ⑤ 7 ⑤ 8 1시간 33.3`% 82.5`% 0.34 ②, ⑤ A 음식점 ② 167.5`cm 28`% A=4, B=8, C=1 30명 ② 150 ③, ④ ③ ④ 27명 7.5시간 20`% ④, ⑤ ③ ④ ② ④ ④ ③ 8명 20`% ④ 148명 ⑤ ⑤ ⑤ 5`% 0.26 ④ ③, ⑤ 40개 ㄱ, ㄹ, ㅁ ⑤ ③ 4|3이 나타내는 변량은 43이다. ④ 가장 작은 변량은 첫 번째 줄기의 가장 작은 수를 볼펜을 가장 많이 사용한 학생은 56자루를 사용하였 고, 가장 적게 사용한 학생은 21자루를 사용하였으 나타내는 잎이고, 가장 큰 변량은 마지막 줄기의 므로 가장 많이 사용한 학생은 가장 적게 사용한 학 가장 큰 수를 나타내는 잎이다. 생보다 56-21=35(자루)를 더 사용하였다. 주어진 자료를 줄기와 잎 그림으로 나타내면 다음과 ① 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간을 계급이라 한다. 줄기가 1이고 잎이 5 이상인 것은 15, 17, 19, 20, ① 도수가 가장 큰 계급은 55`kg 이상 60`kg 미만이 같다. 에그타르트를 먹은 개수 (1|1은 11개) 줄기 잎 0 1 2 6 9 1 5 7 9 0 0 3 6 6 8 20, 23, 26, 26, 28의 9개이고, 참가 인원은 전체 잎 의 개수와 같으므로 2+4+6=12(명)이다. 따라서 에그타르트를 15개 이상 먹은 선수들은 전체의 _100=75(%)이다. ;1»2; (키가 50`cm 미만인 애견들의 키의 합) =32+39+40+40+43+46+47+49 =336(cm) (키가 50`cm 이상인 애견들의 키의 합) =52+52+52+55+(50+x)+64+67 =392+x(cm) 이때 336=392+x-63이므로 336=329+x ∴ x=7 44 정답과 해설 ③ 변량은 자료를 수량으로 나타낸 것이다. ④ 계급의 크기는 구간의 너비이다. 전체 학생 수가 50명이므로 B=50 ∴ A=50-(4+11+17+8)=10 므로 계급값은` =57.5(kg)이다. 55+60 2 ② 몸무게가 49`kg인 학생이 속하는 계급은 45`kg 이상 50`kg 미만이므로 계급값은 45+50 2 =47.5(kg)이다. ③ 계급의 크기는 `45-40=5(kg)이다. ④ 계급값이 52.5`kg인 계급은 50`kg`이상 55`kg 미 만이므로 이 계급의 도수는 10명이다. ⑤ 몸무게가 60`kg 미만인 학생 수는 50-8=42(명) 이다. 몸무게가 45`kg 이상 55`kg 미만인 학생 수는 11+10=21(명)이고, 전체 학생 수는 50명이므로 전체의 _100=42(%)이다. ;[email protected]!; ⑤ 통학 시간이 20분 이상 40분 미만인 학생 수는 b-20=14에서 b=34이므로 B= ② 통학 시간이 20분 미만인 학생과 20분 이상인 학 생 수의 비가 2`:`3이고 전체 학생 수가 40명이므로 =67.5 ∴ a+b=67.5_2=135 통학 시간이 20분 미만인 학생 수는 40_ =16(명)이다. ;5@; 따라서 A+5=16에서 A=11 ∴ B=40-(11+5+11+4)=9 ③ 통학 시간이 30분 이상인 학생 수는 9+4=13(명) 이므로 전체의 _100=32.5(%)이다. ;4!0#; ④ 통학 시간이 40분 이상인 학생 수는 4명, 30분 이 상인 학생 수는 9+4=13(명)이므로 통학 시간 이 긴 쪽에서 12번째인 학생이 속하는 계급은 30 분 이상 40분 미만이다. 따라서 이 계급의 계급값 은 30+40 2 =35(분)이다. 11+9=20(명)이다. ① 계급의 크기는 6-0=6(회)이다. ② E-mail 확인 횟수가 12회 미만인 학생이 전체 의 50`%이므로 5+A 30 _100=50, 5+A=15 ∴ A=10 ∴ B=30-(5+10+3+7)=5 ③ 도수가 가장 작은 계급은 12회 이상 18회 미만이 므로 계급값은 =15(회)이다. 12+18 2 ④ E-mail 확인 횟수가 6회 미만인 학생 수가 5명, 12회 미만인 학생 수가 5+10=15(명)이므로 E-mail 확인 횟수가 적은 쪽에서 9번째인 학생 이 속하는 계급은 6회 이상 12회 미만이다. 따라서 이 계급의 계급값은 =9(회)이다. 6+12 2 ⑤ E-mail 확인 횟수가 18회 이상 30회 미만인 학 생 수는 7+5=12(명)이므로 전체의 ;3!0@; _100=40(%)이다. 남학생 수는 `22명이므로 A=22-(1+5+8+4)=4 ∴ B=2_A=2_4=8 여학생 수는 `18명이므로 C=18-(4+2+8+3)=1 a+b 2 14+a 2 =16이므로 a=16_2-14=18 이때 계급의 크기는 b=18-14=4 ∴ a+b=18+4=22 46- ;2*; Éx<46+ ∴ 42Éx<50 ;2*; 따라서 변량 x의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다. 34.5- ;2#; Éx<34.5+ ∴ 33Éx<36 ;2#; 30-a=10에서 a=20이므로 A= 20+30 2 20+34 2 =25 =27 ∴ B-A=27-25=2 계급의 크기는 6-5=1(시간)이다. 전체 학생 수는 2+4+12+8+3+1=30(명)이다. 도수가 가장 큰 계급은 7시간 이상 8시간 미만이므 로 계급값은 7+8 =7.5(시간)이다. 2 수면 시간이 7시간 이상 9시간 미만인 학생 수는 12+8=20(명)이고, 7시간 미만인 학생 수는 2+4=6(명)이므로 수면 시간이 7시간 이상 9시간 미만인 학생 수는 수면 시간이 7시간 미만인 학생 수 의 = :ª6¼: :Á3¼: (배)이다. ① 전체 학생 수는 4+9+8+11+5+3=40(명)이다. ② 도수가 두 번째로 큰 계급은 50점 이상 60점 미만 이므로 계급값은 =55(점)이다. 50+60 2 ③ 성적이 70점 미만인 학생 수는 4+9+8=21(명) 이다. ⑤ 성적이 90점 이상인 학생 수는 3명, 80점 이상인 학생 수는 5+3=8(명)이므로 성적이 좋은 쪽에 서 7번째인 학생이 속하는 계급은 80점 이상 90점 미만이다. 따라서 이 계급의 계급값은 80+90 2 =85(점)이다. IV 통계 45 성적이 70점 이상 90점 미만인 학생 수는 TV 시청 시간이 4시간 이상인 학생 수는 =40-(4+11+10+6+3) B=3 비만도가 26`% 미만인 회원이 전체의 82.5`%이므로 11+5=16(명)이므로 전체의 _100=40(%)이다. ;4!0^; 주어진 히스토그램으로부터 기록(초) 학생 수(명) 도수분포표를 완성하면 오 12이상~14미만 14 ~16 16 ~18 18 ~20 20 ~22 22 ~24 합계 A 4 11 10 6 40 계급의 크기는 2초이고, 14초 이상 16초 미만인 계 급의 도수는 4명이므로 이 계급의 직사각형의 넓이 른쪽과 같다. 따라서 B=3이고, A =6 는 2_4=8 5+3+2=10(명)이고, 전체의 이므로 전체 학생 ;3!; 수는 10_3=30(명)이다. 따라서 TV 시청 시간이 3시간 이상 4시간 미만인 학생 수는 30-(3+6+5+3+2)=11(명)이므로 전체의 ;3!0!; _100=36.66y(%), 즉 36.7`%이다. 비만도가` 26`% 이상인 회원은 전체의 17.5`%이다. 비만도가` 26`% 이상인 회원 수가 4+10=14(명) 이므로 전체 회원 수를 x명이라 하면 x=14_ =80 100 17.5 따라서 전체 회원 수가 80명이므로 비만도가 14`% 이상 22`% 미만인 회원 수는 80-(6+14+4+10)=46(명) 이때 비만도가` 14`% 이상 `18`% 미만인 계급의 도 수와` 18`% 이상 `22`% 미만인 계급의 도수의 비가 10`:`13이므로 비만도가` 14`% 이상 `18`% 미만인 40_ ;1ª0°0; =10(명)이고, 기록이 14초 미만인 학생 수는 6명, 16초 미만인 학생 수는 6+4=10(명)이 다. 따라서 100`m 달리기 기록이 상위 25`% 이내에 속 계급의 도수는 하려면 16초 미만으로 달려야 한다. 46_ =20(명)이다. ;2!3); 직사각형 A의 넓이는 4_a=4a 직사각형 B의 넓이는 4_8=32 직사각형 B의 넓이가 직사각형 A의 넓이의 이므로 ;3@; 4a_ =32 ∴ a=12 ;3@; 따라서 정한이네 반의 전체 학생 수는 2+5+12+8+5+3=35(명) 이고, 아버지의 나이가 46세 미만인 학생 수는 2+5=7(명)이므로 전체의 _100=20(%)이다. ;3¦5; 영어 성적이 80점 이상인 학생 수는 3+2=5(명) 전체 학생 수를 x명이라 하면 영어 성적이 80점 이 상인 학생이 전체의 20`%이므로 x=5_ =25 :Á2¼0¼: 점 이상 60점 미만인 학생 수는 25-(2+4+6+3+2)=8(명) 46 정답과 해설 ③ 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중앙에 있 는 점을 선분으로 연결하여 그린다. ① 전체 학생 수는 3+7+10+6+3+1=30(명)이 다. ② 계급의 개수는 6개이다. ③ 윗몸일으키기 기록이 55회 이상인 학생 수가 1 명, 50회 이상인 학생 수가 3+1=4(명), 45회 이상인 학생 수가 6+4=10(명)이므로 윗몸일으 키기 기록이 좋은 쪽에서 5번째인 학생이 속하는 계급은 45회 이상 50회 미만이다. 따라서 이 계급의 계급값은 =47.5(회) 45+50 2 이다. ⑤ 윗몸일으키기 기록이 45회 이상인 학생 수는 6+3+1=10(명)이다. 따라서 전체 학생 수가 25명이므로 영어 성적이 50 ④ 도수가 가장 작은 계급은 55회 이상 60회 미만이다. 윗몸일으키기 기록이 40회 미만인 학생 수는 전체 초콜릿의 수가 40개이므로 무게가 31`g 이상 3+7=10(명)이고, 전체 학생 수는 30명이므로 32`g 미만인 초콜릿의 수는 40-(7+13+4+3+1)=12(개) 전체의 _100= =33.33y(%), 즉 33.3`% 100 3 ;3!0); 이다. (넓이)=(계급의 크기)_(도수의 총합) =5_30=150 ① 전체 학생 수는 4+9+8+12+5+2=40(명)이다. ② 도수가 가장 작은 계급은 90점 이상 100점 미만 이므로 계급값은 =95(점)이다. 90+100 2 ③ 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생 수는 8명이 므로 전체의 _100=20(%)이다. ;4¥0; ④ 성적이 90점 이상인 학생 수가 2명, 80점 이상인 학생 수가 5+2=7(명), 70점 이상인 학생 수가 12+7=19(명)이므로 성적이 좋은 쪽에서 10번 째인 학생이 속하는 계급은 70점 이상 80점 미만 이다. 따라서 이 계급의 계급값은 =75(점)이다. 70+80 2 ⑤ 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓 이는 히스토그램의 직사각형의 넓이의 합과 같다. 로 계급값은 =47.5(회)이다. 45+50 2 ② 횟수가 40회 미만인 학생 수는` 3+7=10(명)이다. ③ 전체 학생 수는 3+7+9+12+5+4=40(명)이다. 이 중 10`%는 40_ =4(명)이므로 상위 10`% ;1Á0¼0; 이내에 속하려면 기록이 좋은 쪽에서 4번째 이내 에 들어야 한다. 기록이 55회 이상인 학생 수가 4 명이므로 상위 10`% 이내에 속하려면 줄넘기를 최소한 `55회 이상 해야 한다. ④ (넓이) =5_(3+7+9+12+5+4) =5_40=200 ⑤ 줄넘기 횟수가 45회 이상인 학생 수는 12+5+4=21(명)이므로 전체의 ;[email protected]!; _100=52.5(%)이다. 무게가 `32`g 이상인 초콜릿의 수는 13+4+3+1=21(개) 이고 전체의 52.5`%이므로 저축액이 50억 원 미만인 은행 수는 7+5+6+4=22(개) 전체 은행 수를 `x개라 하면 저축액이 50억 원 미만 인 은행이 전체의 55`%이므로 x=22_ =40 :Á5¼5¼: 따라서 전체 은행 수가 40개이므로 저축액이 60억 원 이상 70억 원 미만인 은행 수는 40-(7+5+6+4+11)=7(개) 나이가 18세 이상인 회원 수를 `x명이라 하면 18세 미만인 회원 수가 30+50=80(명)이므로 80`:`x=4`:`11, 4x=880 ∴ x=220 따라서 나이가 18세 이상 22세 미만인 회원 수는 220-(40+30+30)=120(명) 홈런의 개수가 40개 미만인 선수와 40개 이상인 선 수의 수의 비가 3`:`1이고, 홈런의 개수가 40개 이상 수가 40개 미만인 선수의 수는 30명이다. 즉, 전체 선수의 수는 30+10=40(명)이다. 이때 홈런의 개수가 30개 이상 40개 미만인 선수의 수는 11명이므로 홈런의 개수가 30개 미만인 선수의 수는 30-11=19(명)이다. 홈런의 개수가 10개 이 상 20개 미만인 선수의 수를 x명이라 하면 20개 이 상 30개 미만인 선수의 수는 (x+5)명이므로 x+(x+5)=19, 2x=14 ∴ x=7 따라서 홈런의 개수가 10개 이상 20개 미만인 선수 의 수는 7명이고 20개 이상인 선수의 수는 40-7=33(명)이므로 전체의 _100=82.5(%)이다. ;4#0#; ① 전체 학생 수는 4+6+10+5+4+1=30(명)이다. ② 계급값이 75점인 계급은 70점 이상 80점 미만으 로 이 계급에 속하는 학생은 중간고사가 5명, 기 말고사가 11명이다. 따라서 중간고사보다 기말고 IV 통계 47 (전체 초콜릿의 수)=21_ =40(개) 100 52.5 사가 6명이 더 많다. ① 도수가 가장 큰 계급은 45회 이상 50회 미만이므 인 선수의 수가` 5+4+1=10(명)이므로 홈런의 개 ③ 중간고사와 기말고사의 전체 도수가 같으므로 각 ⑤ 1반의 그래프에서 140`cm 이상 150`cm 미만인 각의 도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부 분의 넓이는 같다. 따라서 어두운 두 부분 A, B 의 넓이는 같다. ④ 중간고사 성적이 90점 이상인 학생 수는 1명, 80 계급의 도수가 10명으로 가장 크므로 이 계급의 계급값은 140+150 =145(cm)이다. 2 점 이상인 학생 수는 4+1=5(명), 70점 이상인 학생 수는 5+5=10(명)이다. 따라서 중간고사 ㄱ. 운동 시간이 70분 이상 80분 미만인 남학생 수는 6명, 여학생은 없으므로 전체 학생 중에서 운동 성적이 상위 10등인 학생이 속하는 계급은 70점 시간이 가장 많은 학생은 남학생 중에 있다. 이상 80점 미만이므로 계급값은 =75(점) 70+80 2 이다. 또, 기말고사 성적이 90점 이상인 학생 수는 3명, 80점 이상인 학생 수는 5+3=8(명), 70점 이상 인 학생 수는 11+8=19(명)이다. 따라서 기말 고사 성적이 상위 10등인 학생이 속하는 계급은 70점 이상 80점 미만이므로 계급값은 75점이다. 그러므로 중간고사와 기말고사에서 각각 상위 10 등인 학생이 속하는 계급의 계급값은 같다. ⑤ 기말고사 성적의 그래프가 중간고사 성적의 그래 프보다 오른쪽으로 치우쳐 있으므로 기말고사의 수학 성적이 중간고사의 수학 성적보다 우수함을 알 수 있다. ① 1반 학생 수는 1+5+10+9+5+3=33(명), 2반 학생 수는 3+5+7+11+6+5=37(명)이 므로 1반 학생 수가 2반 학생 수보다 4명 적다. ② 계급값이 155`cm인 계급은 150`cm 이상 160`cm 미만이고 이 계급에 속하는 1반 학생 수 는 9명, 2반 학생 수는 11명이므로 2반이 1반보 ③ 1반과 2반의 학생 수가 다르므로 각각의 도수분 포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 다 2명 더 많다. 다르다. ④ 1반과 2반 전체 학생 중에서 키가 170`cm 이상인 학생 수는 1반 3명, 2반 5명으로 모두 3+5=8(명), 키가 160`cm 이상 170`cm 미만 인 학생 수는 1반 5명, 2반 6명으로 모두 5+6=11(명)이다. 따라서 키가 160`cm 이상인 학생 수는 8+11=19(명)이므로 전체 학생 중에서 키가 10 번째로 큰 학생이 속하는 계급은 160`cm 이상 170`cm 미만이다. 48 정답과 해설 ㄴ. 남학생의 그래프가 여학생의 그래프보다 오른쪽 으로 치우쳐 있으므로 남학생의 운동 시간이 여 학생의 운동 시간보다 많다고 할 수 있다. ㄷ. 남학생 수는 2+5+7+11+9+6=40(명), 여 학생 수는 4+6+10+5+4+1=30(명)으로 남학생 수와 여학생 수가 다르므로 각각의 도수 분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이 는 다르다. ㄹ. 전체 남학생 수는 40명이고, 운동 시간이 50분 이상인 남학생 수는 11+9+6=26(명)이므로 남학생 전체의 ;[email protected]^; _100=65(%)이다. ㅁ. 계급값이 45분인 계급은 40분 이상 50분 미만이 고 이 계급에 속하는 남학생 수는 7명, 여학생 수 는 5명이므로 남학생이 여학생보다 2명 더 많다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. ⑤ 상대도수의 총합은 항상 1이다. 손님의 나이가 10세 이상 20세 미만인 계급의 상대도 수는 A 음식점이 =0.5, B 음식점이 =0.42 ;7#0%; ;1¢0ª0; 이므로 A 음식점의 상대도수가 B 음식점의 상대도 수보다 크다. 따라서 나이가 10세 이상 20세 미만인 손님 수가 상대적으로 더 많은 음식점은 A 음식점이다. 회원 수가 5명인 계급의 상대도수가` 0.1이므로 E= =50 5 0.1 전체 회원 수가 50명이므로 A=50_0.34=17, B= =0.16, C=50_0.22=11, D= =0.18 ;5¥0; ;5»0; 10+9=19(명)이다. 어떤 계급의 상대도수는 각각 이므로 그 계 4b 2a , 3b 3a ④ 계급값이 167.5`cm인 계급은 165`cm 이상` 170`cm 미만이므로 이 계급의 상대도수는 급의 상대도수의 비는 4b 2a `:` 3b 3a =2`:`1 상대도수가 두 번째로 큰 계급은 165`cm 이상 170`cm 미만이므로 이 계급의 계급값은 165+170 2 =167.5(cm)이다. 키가 170`cm 이상인 계급들의 상대도수의 합이 0.18+0.1=0.28이므로 전체의 0.28_100=28(%)이다. ① 전체 학생 수는 ` =50(명)이다. 6 0.12 ③ 키가 170`cm 이상 175`cm 미만인 계급의 학생 이다. 수는 50_0.18=9(명)이고, 155`cm 이상 160`cm 미만인 계급의 학생 수는 50_0.26=13(명)이므 로 키가 165`cm 이상 170`cm 미만인 계급의 학 생 수는 50-(4+8+13+6+9)=10(명)이다. 따라서 키가 `165`cm 이상인 학생 수는 ;5!0); =0.2이다. ⑤ 도수가 가장 큰 계급은 155`cm 이상 160`cm 미 만이므로 이 계급의 계급값은 155+160 2 =157.5(cm)이다. TV 시청 시간이 0시간 이상 3시간 미만인 계급에 속하는 학생 수는 7명이고, 이 계급의 상대도수가` 0.175이므로 전체 학생 수는 7 0.175 =40(명) 계급의 상대도수는 =0.225 ;4»0; 따라서 40`m 이상 50`m 미만인 계급의 상대도수는 0.8-(0.2+0.15+0.28+0.12)=0.05 이므로 기록이 40`m 이상 `50`m 미만인 학생은 전 체의 0.05_100=5(%)이다. 남학생은 `28명 중 14명이 합격점을 받았으므로 남학 생 중 합격점을 받은 학생의 비율은 ` =0.5이다. ;2!8$; 또, 여학생은 `24명 중` 18명이 합격점을 받았으므로 여학생 중 합격점을 받은 학생의 비율은 ` =0.75 ;2!4*; 따라서 합격점을 받은 학생의 비율은 여학생이 남학 생보다 더 높다. A, B 두 집단의 전체 도수를` 각각 2a, 3a라 하고, 어떤 계급의 도수를 각각 4b, 3b라 하면 천문학 동아리와 수화 동아리의 전체 회원 수를 각각 `5a명, 2a명이라 하고, 어떤 계급의 상대도수를 각 각 3b, 2b라 하면 어떤 계급의 도수는 각각 5a_3b=15ab(명), 2a_2b=4ab(명)이므로 그 계급의 도수의 비는 15ab`:`4ab=15`:`4 남학생 중에서 수학을 좋아하는 학생 수는 30_0.4=12(명), 여학생 중에서 수학을 좋아하는 학생 수는 20_0.25=5(명)이다. 의 상대도수는 12+5 30+20 = ;5!0&; =0.34이다. A`제품의 불량품의 개수는 30_a=30a(개), B`제 품의 불량품의 개수는 40_b=40b(개)이므로 두 제품 전체에 대한 불량품의 상대도수는 따라서 TV 시청 시간이 6시간 이상 9시간 미만인 따라서 남녀 전체 학생에 대한 수학을 좋아하는 학생 계급값이 10.5시간인 계급은 9시간 이상 12시간 미 만이므로 이 계급의 상대도수는 ` =0.2이다. ;4¥0; 따라서 전체의 0.2_100=20(%)이다. 30a+40b 30+40 = 3a+4b 7 50`m 미만인 계급들의 상대도수의 합과 50`m 이상 인 계급들의 상대도수의 합의 비가 4`:`1이므로 1반 학생 중에서 70점 이상 80점 미만인 계급에 속 하는 학생 수는 0.36_x=0.36x(명), 2반 학생 중 에서 70점 이상 80점 미만인 계급에 속하는 학생 수 50`m 미만인 계급들의 상대도수의 합은 1_ =0.8 ;5$; 는 0.325_y=0.325y(명)이다. IV 통계 49 따라서 1반과 2반 전체 학생에 대한 70점 이상 80점 이때 한 달 용돈이` 5만 원 이상 6만 원 미만인 계급 미만인 계급의 상대도수는 0.36x+0.325y x+y = 72x+65y 200(x+y) 의 상대도수는 1-(0.06+0.14+0.24+0.3+0.08)=0.18 이므로 이 계급의 학생 수는 150_0.18=27(명)이다. 전체 학생 수는 40명이고, 영어 성적이 80점 이상인 계급들의 상대도수의 합은 0.4+0.25=0.65이므로 80점 이상인 학생 수는 `40_0.65=26(명)이다. 25회 이상 30회 미만인 계급의 상대도수는` 0.26이다. 상대도수가 가장 큰 계급은 20회 이상 25회 미만이 므로 이 계급의 계급값은 20+25 =22.5(회)이다. 2 나이가 50세 미만인 회원 수가 34명이고, 50세 미만 인 계급들의 상대도수의 합이 0.04+0.14+0.22+0.28=0.68이므로 전체 회원 수는 34 0.68 =50(명)이다. 이때 계급값이 55세인 계급, 즉 50세 이상 60세 미 만인 계급의 상대도수는 1-(0.68+0.08)=0.24이 턱걸이 횟수가 20회 미만인 계급들의 상대도수의 합 므로 이 계급의 회원 수는 50_0.24=12(명)이다. 은 0.06+0.2=0.26이므로 전체의 0.26_100=26(%)이다. 턱걸이 횟수가 30회 이상인 계급들의 상대도수의 합 방문 시간대가 12시 전인 계급들의 상대도수의 합은 은 0.1+0.04=0.14이므로 전체 학생 수는 0.04+0.12=0.16 이 계급들에 속하는 고객 수가 64명이므로 전체 고 35 0.14 =250(명)이다. ② 통학 시간이 50분 이상인 학생 수가 35명이고 이 계급들의 상대도수의 합은 0.18+0.17=0.35이 므로 전체 학생 수는 ` =100(명)이다. 35 0.35 ③ 통학 시간이 30분 미만인 계급들의 상대도수의 방문 시간대가 12시부터 13시 전인 계급에 속하는 고객 수가 108명이므로 이 계급의 상대도수는 합은 0.11+0.15

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