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[수학도사 박성채] LIVE강의 (EBS올림포스고난도) 고등수학 02.나머지정리 #01
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올림포스 고난도 해설

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EBS 올림포스 수학(상) 답지 정답

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(2) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. 01. 다항식의 연산. 기본 유형 익히기. 본문 8~9쪽. 유제. 1. 4xÜ`-5xÛ`+x+13 2. -29 3. 144. 1.. 4. ①. 4.. . 3x-3. xÛ`+x-1 3xÜ`. +ax. +b. . 3xÜ`+3xÛ`. . -3xÛ`+(a+3)x. +b. . -3xÛ`. +3. . . -3x -3x. (a+6)x +b-3. 나머지가 2x+3이므로 a+6=2, b-3=3 A-2B+3C. 따라서 a=-4, b=6이므로. =(xÜ`+xÛ`-3x)-2(3xÛ`+x-5)+3(xÜ`+2x+1). a+b=-4+6=2. =(xÜ`+xÛ`-3x)+(-6xÛ`-2x+10)+(3xÜ`+6x+3). ①. =(1+3)xÜ`+(1-6)xÛ`+(-3-2+6)x+(10+3) =4xÜ`-5xÛ`+x+13  4xÜ`-5xÛ`+x+13. 유형 확인. 2.. (x+3)(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5). =x(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5) . +3(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5). . yy ㉠. 본문 10~11쪽. 01 ⑤ 02 ② 03 20 04 ⑤ 06 4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx 08 48 09 -1 10 ① 11 3. (2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에서 xÛ`항은. 01 2(-A+B)-{B-(A-2B)}. (2xÛ`)(-5)+(-4x)(-2x)+7(3xÛ`)­=(-10+8+21)xÛ`. =-2A+2B-(B-A+2B). 05 ② 07 ③ 12 ④. =-2A+2B-3B+A. =19xÛ` (2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에서 xÜ`항은. =-A-B. (2xÛ`)(-2x)+(-4x)(3xÛ`)=(-4-12)xÜ`=-16xÜ`. =-(4xÛ`-x+1)-(-xÛ`+3x-4). 따라서 (x+3)(2xÛ`-4x+7)(xÝ`+3xÛ`-2x-5)의 전개식에. =-4xÛ`+x-1+xÛ`-3x+4. 서 xÜ`항은 ㉠에서. =-3xÛ`-2x+3 ⑤. x(19xÛ`)+3(-16xÜ`)=(19-48)xÜ`=-29xÜ` 이므로 xÜ`의 계수는 -29이다.  -29. 02 2A+B=xÛ`+8x-3 A-B=2xÛ`+x-12. yy ㉠ yy ㉡. ㉠+㉡을 하면. 3.. 3A=3xÛ`+9x-15. ab+bc+ca=;2!;{(a+b+c)Û`-(aÛ`+bÛ`+cÛ`)}. A=xÛ`+3x-5 ㉡에서. =;2!;(0Û`-24)=-12. xÛ`+3x-5-B=2xÛ`+x-12. 이므로. B=-xÛ`+2x+7. aÛ`bÛ`+bÛ`cÛ`+cÛ`aÛ`­=(ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c). X-A=2B에서. =(-12)Û`-0=144. X­=A+2B  144. 2. =(xÛ`+3x-5)+2(-xÛ`+2x+7) . 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 2. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(3) =xÛ`+3x-5-2xÛ`+4x+14. 07 (x+3)Ü`-(x+2)(xÛ`-2x+4). =-xÛ`+7x+9. =(xÜ`+9xÛ`+27x+27)-(xÜ`+8) ②. =9xÛ`+27x+19 따라서 x의 계수는 27이다.. 다른풀이. 위의 풀이에서 ㉠-㉡을 하면. ③. A+2B=-xÛ`+7x+9. 08 ABÓ=a, BCÓ=b, BFÓ=c라 하자.. 03 (x+a)(x+b)(x+1) ={xÛ`+(a+b)x+ab}(x+1). 직육면체의 겉넓이가 94이므로. =xÜ`+(a+b+1)xÛ`+(ab+a+b)x+ab. 2(ab+bc+ca)=94. 이므로 xÛ`의 계수는 a+b+1, x의 계수는 ab+a+b이다. xÛ`의 계수가 7이므로. ab+bc+ca=47 DBÓ `Û +BGÓ `Û +GDÓ `Û =100이므로. a+b+1=7. (aÛ`+bÛ`)+(bÛ`+cÛ`)+(cÛ`+aÛ`)=100. a+b=6. aÛ`+bÛ`+cÛ`=50. x의 계수가 14이므로. ㉠, ㉡에서. ab+a+b=14. (a+b+c)Û`­=aÛ`+bÛ`+cÛ`+2(ab+bc+ca). yy ㉠. yy ㉡. =50+2_47=144. ab=14-6=8 따라서. 이때 a+b+c>0이므로 a+b+c=12. aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=6Û`-2_8=36-16=20. 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은  20. 4(a+b+c)=4_12=48  48. 04 (1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`)Û` =(1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`)(1+x+2xÛ`+3xÜ`+4xÝ`). 09 1000=a로 놓으면. 이 식의 전개식에서 xÝ` 항은. 999_(1000Û`+1000+1)­=(a-1)(aÛ`+a+1) . 1_4xÝ`+x_3xÜ`+2xÛ`_2xÛ`+3xÜ`_x+4xÝ`_1=18xÝ`. =aÜ`-1Ü`. 따라서 xÝ`의 계수는 18이다.. =1000Ü`-1 . ⑤. =10á`-1 따라서 k=-1. 05 .  -1. =(xÛ`+1)Û`-(xÛ`+1)(xÛ`+x)+(xÛ`+x)Û` =(xÝ`+2xÛ`+1)-(xÝ`+xÜ`+xÛ`+x)+(xÝ`+2xÜ`+xÛ`) =xÝ`+xÜ`+2xÛ`-x+1. 10 aÛ`-bÛ`=’2, ab=-;2!;이므로. 따라서 xÛ`의 계수는 2이다. ②. 06 (2x-3y+z)Û`={2x+(-3y)+z}Û` =(2x)Û`+(-3y)Û`+zÛ`+2_2x_(-3y)+2_(-3y)_z . +2_z_2x. =4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx. (aÜ`-bÜ`)(aÜ`+bÜ`)=aß`-bß`=(aÛ`-bÛ`)Ü`+3aÛ`bÛ`(aÛ`-bÛ`) =(‘2)Ü`+3{-;2!;}2`_’2 =2’2+ =. 3’2 4. 11’2 4.  4xÛ`+9yÛ`+zÛ`-12xy-6yz+4zx. ①. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 3. 3. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(4) 정답과 풀이. 11 . 따라서 X-2A=B에서. 3x+1. X­=2A+B=(A+B)+A . xÛ`-x+2 3xÜ`-2xÛ`+3x+7 . 3xÜ`-3xÛ`+6x. =(-xÛ`+3xy-4yÛ`)+(-2xÛ`+2xy-2yÛ`). . . xÛ`-3x+7. =-3xÛ`+5xy-6yÛ`. . . xÛ` -x+2. . . -2x+5.  -3xÛ`+5xy-6yÛ` 단계. 위의 나눗셈에서 a=3, b=-3, c=-2, d=5이므로 a+b+c+d=3-3-2+5=3 3. 12 . yy ➌. 채점 기준. 비율. ➊. 3A+3B를 구한 경우. 30`%. ➋. 주어진 식을 연립하여 A를 구한 경우. 40`%. ➌. 다항식 X를 구한 경우. 30`%. 2x-1. xÛ`-x+b 2xÜ`-3xÛ`. +ax. . 2xÜ`-2xÛ` +2bx. . . . . . . -xÛ`+ (a-2b)x -xÛ`. +x. -2. 02 xÜ`+xÛ`+x=A라 하면 (주어진 식)­=(A+2)(A-2)=AÛ`-4. -2 -b. (a-2b-1)x +b-2. 위의 나눗셈에서 2xÜ`-3xÛ`+ax-2를 xÛ`-x+b로 나누었을. yy ➊. =(xÜ`+xÛ`+x)Û`-4. =xß`+xÝ`+xÛ`+2(xÞ`+xÜ`+xÝ`)-4. yy ➋. =xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4. yy ➌.  xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4. 때의 몫이 2x-1, 나머지가 (a-2b-1)x+b-2이다. 이때 나머지가 0이어야 하므로. 단계. 채점 기준. 비율. a-2b-1=0, b-2=0. ➊. 공통 부분을 A로 놓고 식을 간단히 한 경우. 30`%. 따라서 a=5, b=2이므로. ➋. 전개 공식을 이용한 경우. 40`%. a+b=5+2=7. ➌. 다항식을 정리한 경우. 30`%. ④. 03 다항식 f(x)를 x+3으로 나누었을 때의 몫이 3x+2이 고 나머지가 2이므로. 서술형. 연습장. f(x)=(x+3)(3x+2)+2=3xÛ`+11x+8 본문 12쪽. 3A+3B=-3xÛ`+9xy-12yÛ`. 3x+5 x+2 3xÛ`+11x +8. 01 -3xÛ`+5xy-6yÛ` 02 xß`+2xÞ`+3xÝ`+2xÜ`+xÛ`-4 03 몫: 3x+5, 나머지: -2. 01 A+B=-xÛ`+3xy-4yÛ`에서. 3xÛ` +6x . 5x +8. yy ➊. 5x+10. yy ➋. -2. 따라서 몫은 3x+5, 나머지는 -2이다.. 단계. 3A+3B=-3xÛ`+9xy-12yÛ` . 4. 7xÛ`-xy-2yÛ`. 5A=-10xÛ`+10xy-10yÛ` A=-2xÛ`+2xy-2yÛ`. yy ➋. yy ➌.  몫: 3x+5, 나머지: -2. 이므로 다음과 같이 다항식 A를 구할 수 있다. – 3B-2A=. yy ➊. 채점 기준. 비율. ➊. `f(x)를 구한 경우. 30`%. ➋. 나눗셈을 계산한 경우. 40`%. ➌. 몫과 나머지를 구한 경우. 30`%. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 4. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(5) 내신. +. 수능. 01 ③. 고난도 문항. 02 -63. 03 2017=a, ‘¶2018=b로 놓으면. 본문 13쪽. (2017+’¶2018)Ü`+(2017-‘¶2018)Ü`. 03 ④. =(a+b)Ü`+(a-b)Ü` =(aÜ`+3aÛ`b+3abÛ`+bÜ`)+(aÜ`-3aÛ`b+3abÛ`-bÜ`). 01 ;a!;+;b!;+;c!;=-1에서 ;a!;+;b!;+;c!;=. =2aÜ`+6abÛ` =2a(aÛ`+3bÛ`). ab+bc+ca =-1 abc. 이므로. 이므로 ab+bc+ca=-abc. (2017+’¶2018)Ü`+(2017-‘¶2018)Ü` 2017. aÛ`+bÛ`+cÛ`=24에서. =. (a+b)Ü`+(a-b)Ü` a. =. 2a(aÛ`+3bÛ`) a. aÛ`+bÛ`+cÛ`=(a+b+c)Û`-2(ab+bc+ca) 24=(-4)Û`-2(ab+bc+ca) 따라서 ab+bc+ca=-4, abc=4이므로 {;a!;}2`+{;b!;}2`+{;c!;}2`=. =2(aÛ`+3bÛ`). 1 1 1 bÛ`cÛ`+aÛ`cÛ`+aÛ`bÛ` + + = aÛ` bÛ` cÛ` aÛ`bÛ`cÛ`. =. (ab+bc+ca)Û`-2abc(a+b+c) (abc)Û`. =. (-4)Û`-2_4_(-4) 4Û`. =2(2017Û`+3_2018) 이때 2017Û`의 일의 자리의 수는 9이고, 3_2018의 일의 자리 의 수는 4이며, 2_(9+4)의 일의 자리의 수는 6이므로 2_(2017Û`+3_2018)의 일의 자리의 수는 6이다. 따라서 구하는 일의 자리의 수는 6이다. ④. =3 ③. 02 m+n­=(ax+by)+(bx+ay). =a(x+y)+b(y+x)=(x+y)(a+b) =(-3)_1. =-3 한편 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy=(-3)Û`-2_1=7 aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=1Û`-2(-1)=3 이므로 mn­=(ax+by)(bx+ay)=abxÛ`+aÛ`xy+bÛ`xy+abyÛ` =ab(xÛ`+yÛ`)+(aÛ`+bÛ`)xy =(-1)_7+3_1. =-4 따라서 mÜ`+nÜ`­=(m+n)Ü`-3mn(m+n). =(-3)Ü`-3_(-4)_(-3) =-27-36. =-63  -63. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 5. 5. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(6) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. 02. 인수정리에 의해 두 등식 f(1)=0, f(2)=0이 모두 성립한다.. 나머지정리. 기본 유형 익히기. f(1)=1+a-7+b=0에서 yy ㉠. a+b=6 본문 16~17쪽. 유제. 1. 9 2. 78 4. 몫: xÛ`-x+1, 나머지: 9. 1.. 진다.. f(2)=8+4a-14+b=0에서 yy ㉡. 4a+b=6. 3. 12. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=6이므로 f(x)=xÜ`-7x+6. 2xÛ`-1=a+b(x-1)+c(x-1)(x-2)의 우변을 정리. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는 f(-2)­=(-2)Ü`-7_(-2)+6. 하면. =12. 2xÛ`-1=cxÛ`+(b-3c)x+a-b+2c.  12. 양변의 동류항의 계수를 비교하면 c=2, b-3c=0, a-b+2c=-1. 다른풀이. 따라서 a=1, b=6, c=2이므로. f(x)=xÜ`+axÛ`-7x+b를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을. a+b+c=9. Q(x)라 하면 9. f(x)­=xÜ`+axÛ`-7x+b=(xÛ`-3x+2)Q(x) =(x-1)(x-2)Q(x). 다른풀이. 주어진 등식의 양변에 x=1을 대입하면 2-1=a이므로. f(1)=1+a-7+b=0. yy ㉠. a=1. f(2)=8+4a-14+b=0. yy ㉡. 등식의 양변에 x=2를 대입하면 8-1=a+b이므로. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=6이므로. b=6. f(x)=xÜ`-7x+6. 또한 양변의 이차항의 계수가 서로 같아야 하므로. 따라서 f(x)를 x+2로 나누었을 때의 나머지는. c=2. f(-2)­=(-2)Ü`-7_(-2)+6. =12. 따라서 a=1, b=6, c=2이므로 a+b+c=9. 2.. 4.. 나머지정리에 의해. 먼저 2xÜ`-5xÛ`+5x+6을 x- ;2#;으로 나누었을 때의 몫. 과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하자. . RÁ=f(1)=1+a+3=a+4 Rª=f(-1)=1-a+3=-a+4. ;2#;. 이때 RÁ-Rª=20이므로. 2. (a+4)-(-a+4)=20, 2a=20 a=10이므로. 2. f(x)=xÛ`+10x+3 따라서 f(x)를 x-5로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 f(5)=5Û`+10_5+3=78  78. 3.. 5. 6. 3. -3. 3. -2. 2. 9. 몫은 2xÛ`-2x+2, 나머지는 9이므로 2xÜ`-5xÛ`+5x+6={x-;2#;}(2xÛ`-2x+2)+9 ={x-;2#;}_2(xÛ`-x+1)+9 =(2x-3)(xÛ`-x+1)+9. f(x)가 xÛ`-3x+2=(x-1)(x-2)로 나누어떨어지므. 로 f(x)는 x-1로도 나누어떨어지고, x-2로도 나누어떨어. 6. -5. 따라서 구하는 몫은 xÛ`-x+1, 나머지는 9이다.  몫: xÛ`-x+1, 나머지: 9. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 6. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(7) 유형 확인. 01 ⑤ 06 39 11 ③. 02 ④ 07 ③ 12 -4. 본문 18~19쪽. 03 -9 04 ② 05 1 08 -16 09 -27 10 ①. 04 다항식 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 -4이므 로 나머지정리에 의해 f(-1)=-4 따라서 다항식 xÛ`f(x)+3을 x+1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 01 등식 (x-2)(xÛ`+2)P(x)=xÝ`+axÛ`+b는 x에 대한. (-1)Û`_f(-1)+3=1_(-4)+3=-1 ②. 항등식이고, 우변의 최고차항의 계수가 1이므로. 05 f(x)를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면. P(x)=x+c(c는 상수)로 놓을 수 있다. (x-2)(xÛ`+2)(x+c)=xÝ`+axÛ`+b에서. f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+3x-2. …… ㉠. (xÜ`-2xÛ`+2x-4)(x+c)=xÝ`+axÛ`+b. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=1. xÝ`+(c-2)xÜ`+(2-2c)xÛ`+(2c-4)x-4c=xÝ`+axÛ`+b. 따라서 다항식 f(2x-3)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는. 이 식은 x에 대한 항등식이므로. 나머지정리에 의해. c-2=0, 2-2c=a, 2c-4=0, -4c=b. f(2_2-3)=f(1)=1. 즉, a=-2, b=-8, c=2이므로. 1. a+b=-10. 다른풀이. ⑤. f(x)를 xÛ`-3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+3x-2. …… ㉠. ㉠의 x 대신 2x-3을 대입하면. 02. (xÛ`+3x-2)Ü`=a¤xß`+a°xÞ`+y+aÁx+a¼의 양변에. f(2x-3)­=(2x-4)(2x-5)Q(2x-3)+6x-11. x=1을 대입하면. =2(x-2)(2x-5)Q(2x-3)+6(x-2)+1 . (1+3-2)Ü`=a¤+a°+y+aÁ+a¼. =(x-2){2(2x-5)Q(2x-3)+6 }+1. 따라서 a¼+aÁ+y+a°+a¤=2Ü`=8. 따라서 f(2x-3)을 x-2로 나누었을 때의 나머지는 1이다. ④. 06 항등식 f(2x)=g(x)(x-2)+3에 x=2를 대입하면 f(4)=3. 03 xÜ`+ax+b를 xÛ`+3x+2로 나누었을 때의 몫을 Q(x). g(x)-2x를 x-4로 나누었을 때의 나머지는 5이므로 나머지. 라 하면 나머지가 3x+1이므로. 정리에 의해. xÜ`+ax+b=(xÛ`+3x+2)Q(x)+3x+1. g(4)-2_4=5. xÜ`+ax+b=(x+1)(x+2)Q(x)+3x+1. …y ㉠. g(4)=13. ㉠은 x에 대한 항등식이므로 양변에 x=-1을 대입하면. 따라서 다항식 f(x)g(x)를 x-4로 나누었을 때의 나머지는. -1-a+b=-2. 나머지정리에 의해. a-b=1. yy ㉡. f(4)g(4)=3_13=39  39. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 -8-2a+b=-5 2a-b=-3. yy ㉢. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면. 07 다항식 f(x)=xÜ`+axÛ`+bx+6을 x-1로 나누었을 때 의 나머지가 3이므로 나머지정리에 의해. a=-4, b=-5. f(1)=1+a+b+6=3. 따라서 a+b=-9. a+b=-4  -9. yy ㉠. f(x)가 x+2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 7. 7. 2017-11-01 오전 10:39:35.

(8) 정답과 풀이 f(-2)=-8+4a-2b+6=0. b=0 yy ㉡. 2a-b=1 ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=-3이므로. 또, r=a_2=;2!;_2=1이고, -1+r=-1+1=c이므로 c=0. ab=(-1)_(-3)=3 ③. 따라서 a+b+c=;2!;+0+0=;2!; ①. 08 f(x)=xÜ`-3xÛ`+kx+4가 x+2로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 11 다항식 xÝ`+axÛ`+1을 x+1로 나누었을 때의 몫 Q(x)를. f(-2)=-8-12-2k+4=0. 조립제법을 이용하여 구하면. k=-8이므로. -1. f(x)=xÜ`-3xÛ`-8x+4. 1. 따라서 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 1. f(2)=8-12-16+4=-16  -16. 09 다항식 f(x-2)가 x+1로 나누어떨어지므로 인수정리 에 의해. 0. a. 0. 1. -1. 1. -a-1. a+1. -1. a+1. -a-1. a+2. Q(x)=xÜ`-xÛ`+(a+1)x-a-1 이때 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 2이므로 나머지 정리에 의해 Q(-1)=-1-1-(a+1)-a-1=2 즉, -2a-4=2이므로 a=-3이다.. f(-1-2)=f(-3)=0. ③. 다항식 f(x+2)가 x-1로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 f(1+2)=f(3)=0. 12 f(x)=a(x-1)Ü`+b(x-1)Û`+c(x-1)+d로 놓으면. 따라서 f(x)=xÜ`+2xÛ`+ax+b에서. f(x)=(x-1){a(x-1)Û`+b(x-1)+c}+d. f(-3)=-27+18-3a+b=0 yy ㉠. -3a+b=9 f(3)=27+18+3a+b=0. yy ㉡. 3a+b=-45. 이므로 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)Û`+b(x-1)+c이고 나머지는 d이다. 1. 1. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-9, b=-18이므로 a+b=-9-18=-27  -27. 10 a. 2. 2. 3. b. -1. p. q. r. 4. 2. c. 위의 조립제법에서 3+p=4이므로 p=1. 1. 1. 1. 1. -1. -3. 4. 1. 0. -3. 0. -3. 1. 1. 1. 1=d. -2=c. 1 1=a. 2=b. 첫 번째 조립제법에서 a(x-1)Û`+b(x-1)+c=xÛ`-3이고 d=1 또, a(x-1)Û`+b(x-1)+c=(x-1){a(x-1)+b}+c이. 이때 2a=p=1이므로. 므로 xÛ`-3을 x-1로 나누었을 때의 몫은 a(x-1)+b이고. a=;2!;. 나머지는 c이다.. 또, q=a_4=;2!;_4=2이고, b+q=b+2=2이므로. 8. 두 번째 조립제법에서 a(x-1)+b=x+1이고 c=-2. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 8. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(9) 또, a(x-1)+b=x+1에서. 단계. 채점 기준. 비율. a=1, b=2. ➊. 나머지정리를 활용한 경우. 30`%. 따라서 a=1, b=2, c=-2, d=1이므로. ➋. f(x-2)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 40`%. abcd=-4. ➌. a의 값을 구한 경우. 30`%.  -4. 03 다항식 f(x)를 xÛ`-x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4x+2이므로 f(x)=(xÛ`-x+1)Q(x)+4x+2. 서술형. 연습장. 01 1. 본문 20쪽. 02 6. 03 2xÛ`+2x+4. yy ➋. (-1)Û`â`+(-1)Ú`â`+(-1)Þ`+1=(-1-1)Q(-1)+4 2=-2Q(-1)+4 따라서 Q(-1)=1이므로 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나 yy ➌ 1. yy ➍. 이다.. 단계. 채점 기준. 비율. ➊. f(x)를 Q(x)로 나누었을 때의 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➋. Q(x)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➌. f(x)를 Q ‘(x)로 나누었을 때의 몫과 나머지 로 나타낸 경우. 30`%. ➍. 나머지를 구한 경우. 10`%. 비율. ➊. f(x)를 몫과 나머지로 나타낸 경우. 30`%. ➋. R의 값을 구한 경우. 30`%. ➌. Q(x)를 x+1로 나눈 나머지를 구한 경우. 40`%. 02 f(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지가 8이므로 나머지 정리에 의해 f(-1)=8. yy ➊. 내신. 01 ④. +. 수능. 고난도 문항. 01 (2xÛ`-3x-1)Ü`=a¤xß`+a°xÞ`+y+aÁx+a¼ 은 x에 대한 항등식이다.. 머지가 ax+2이므로. ㉠에 x=1을 대입하면. f(x-2)=(x-1)Û` Q(x)+ax+2 yy ㉠ yy ➋. (2_1Û`-3_1-1)Ü`=a¤+a°+y+aÁ+a¼. ㉠에 x=1을 대입하면. a¼+aÁ+y+a°+a¤=-8. f(-1)=a+2. ㉠에 x=-1을 대입하면. 이때 f(-1)=8이므로 a+2=8에서. {2_(-1)Û`+3-1}Ü`=a¤-a°+y-aÁ+a¼ yy ➌ 6. 본문 21쪽. 02 6xÛ`-11x+1 03 ①. f(x-2)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나. a=6. yy ➌. =(xÜ`+1)Q'(x)+2xÛ`+2x+4.  2xÛ`+2x+4. 양변에 x=-1을 대입하면. 채점 기준. f(x)­=(xÛ`-x+1){(x+1)Q'(x)+2}+4x+2 따라서 f(x)를 xÜ`+1로 나누었을 때의 나머지는 2xÛ`+2x+4. 즉, xÛ`â`+xÚ`â`+xÞ`+1=(x-1)Q(x)+4이므로 이 항등식의. 단계. yy ➋. yy ➊. 이때 f(1)=R이고 f(1)=1Û`â`+1Ú`â`+1Þ`+1=4이므로. 머지는 나머지정리에 의해 1이다.. yy ㉡. ㉠, ㉡에서. 었을 때의 나머지를 R라 하면. R=4. yy ➊. Q'(x)라 하면 Q(x)=(x+1)Q'(x)+2. 01 `f(x)=xÛ`â`+xÚ`â`+xÞ`+1이라 하고 f(x)를 x-1로 나누 f(x)=(x-1)Q(x)+R. yy ㉠. 이때 Q(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 2이므로 몫을. a¼-aÁ+aª-y-a°+a¤=64. yy ㉠. yy ㉡. yy ㉢. ㉡+㉢에서 2(a¼+aª+a¢+a¤)=56이므로. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 9. 9. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(10) 정답과 풀이 Ⅰ. 다항식. a¼+aª+a¢+a¤=28 ④. 03. 02 다항식 f(x)를 (x-1)Û`(x-2)로 나누었을 때의 몫을. 인수분해. 기본 유형 익히기. Q(x), 나머지를 R(x)라 하면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+R(x). 본문 24~25쪽. 유제. 1. ⑴ (x-y-5z)Û` ⑵ (x+y)(x-y)Û` 2. ­⑴ (x+1)Û`(xÛ`+2x+3). 이때 f(x)를 (x-1)Û`으로 나누었을 때의 나머지가 x-5이고, R(x)는 이차 이하의 다항식이므로 R(x)를 (x-1)Û`으로 나. ⑵ (xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5). 누었을 때의 나머지가 x-5이어야 한다.. 3. 4. (x+1)(x-2)(xÛ`+x+1) (aÛ`+bÛ`)(a+b+1). R(x)=a(x-1)Û`+x-5(a는 상수)로 놓으면 f(x)=(x-1)Û`(x-2)Q(x)+a(x-1)Û`+x-5 한편 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 3이므로 나머지 정리에 의해. 1.. ⑴ xÛ`+yÛ`+25zÛ`-2xy+10yz-10zx. =­xÛ`+(-y)Û`+(-5z)Û`+2x(-y)+2(-y)(-5z). f(2)=a-3=3. . 따라서 a=6이므로 구하는 나머지는. +2(-5z)x =(x-y-5z)Û`. R(x)=6(x-1)Û`+x-5=6xÛ`-11x+1  6xÛ`-11x+1. ⑵ ­xÜ`+yÜ`-xy(x+y)=(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`)-xy(x+y) =(x+y)(xÛ`-xy+yÛ`-xy). =(x+y)(xÛ`-2xy+yÛ`) . 03 A, B, C, D의 부피는 각각 xÜ`, 2xÛ`, 4x, 2Ü`이므로 . =(x+y)(x-y)Û`. A 1개, B 12개, C p개, D q개의 부피의 총합은.  ⑴ (x-y-5z)Û` ⑵ (x+y)(x-y)Û`. xÜ`+12_2xÛ`+p_4x+q_2Ü`=xÜ`+24xÛ`+4px+8q 한편 한 모서리의 길이가 x+k인 정육면체의 부피는. 2.. (x+k)Ü`=xÜ`+3kxÛ`+3kÛ`x+kÜ` 이때 등식 xÜ`+24xÛ`+4px+8q=xÜ`+3kxÛ`+3kÛ`x+kÜ`이 x에. ⑴ xÛ`+2x=X로 놓으면. (xÛ`+2x)Û`+4xÛ`+8x+3=(xÛ`+2x)Û`+4(xÛ`+2x)+3. 대한 항등식이므로. =XÛ`+4X+3. 24=3k, 4p=3kÛ`, 8q=kÜ`. =(X+1)(X+3). 따라서 k=8, p=48, q=64이므로. =(xÛ`+2x+1)(xÛ`+2x+3) =(x+1)Û`(xÛ`+2x+3). k+p+q=8+48+64=120 ①. ⑵ xÝ`-6xÛ`+25­=(xÝ`+10xÛ`+25)-16xÛ` =(xÛ`+5)Û`-(4x)Û`. =(xÛ`+5-4x)(xÛ`+5+4x). =(xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5)  ⑴ (x+1)Û`(xÛ`+2x+3) ⑵ (xÛ`-4x+5)(xÛ`+4x+5). 3.. aÛ`+bÛ`+(aÜ`+bÜ`)+ab(a+b). =aÛ`+bÛ`+(a+b)(aÛ`-ab+bÛ`)+ab(a+b) =aÛ`+bÛ`+(a+b){(aÛ`-ab+bÛ`)+ab} =aÛ`+bÛ`+(a+b)(aÛ`+bÛ`) =(aÛ`+bÛ`)(a+b+1)  (aÛ`+bÛ`)(a+b+1). 10. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 10. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(11) 4.. 03 aÛ`-8bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca. f(x)=xÝ`-2xÛ`-3x-2라 하면. f(-1)=1-2+3-2=0,. =aÛ`+bÛ`+cÛ`+2ab-2bc-2ca-9bÛ`. f(2)=16-8-6-2=0. =(a+b-c)Û`-(3b)Û`. 이므로 f(x)는 x+1, x-2를 인수로 갖는다.. ={(a+b-c)+3b}{(a+b-c)-3b}. -1. 2. 1. 1. 0. -2. -3. -2. -1. 1. 1. 2. -1. -1. -2. 0. 2. 2. 2. 1. 1. 0. 1. =(a+4b-c)(a-2b-c)  (a+4b-c)(a-2b-c). 04 xÛ`-x=X로 놓으면. (xÛ`-x)Û`+3xÛ`-3x-10=(xÛ`-x)Û`+3(xÛ`-x)-10. =XÛ`+3X-10=(X+5)(X-2). 따라서 위의 조립제법에 의하여. =(xÛ`-x+5)(xÛ`-x-2). xÝ`-2xÛ`-3x-2=(x+1)(x-2)(xÛ`+x+1). =(xÛ`-x+5)(x-2)(x+1).  (x+1)(x-2)(xÛ`+x+1). 따라서 a=-1, b=5, c=-2, d=1 또는 a=-1, b=5, c=1, d=-2이므로 a+b+c+d=3. 유형 확인. ③ 본문 26~27쪽. 01 270 02 ② 03 (a+4b-c)(a-2b-c) 04 ③ 05 ① 06 (xÛ`+5x+5)Û` 07 ⑤ 08 a+b, b+c, a=c인 이등변삼각형 09 17 10 ④ 11 ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)Û`(x+2)(x-3) 12 ④. 05 xÛ`=X, yÛ`=Y로 놓으면 3xÝ`-11xÛ`yÛ`-4yÝ`=3XÛ`-11XY-4YÛ`. =(3X+Y)(X-4Y). =(3xÛ`+yÛ`)(xÛ`-4yÛ`). =(3xÛ`+yÛ`)(x-2y)(x+2y) 따라서 a=1, b=2이므로 a+b=1+2=3 ①. 01 a=28이므로 인수분해 공식에 의해 N=aÜ`+6aÛ`+12a+8=(a+2)Ü`. 06 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1. =(28+2)Ü`=30Ü`=27000. ={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+1. N 따라서 =270 100. =(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1 이때 xÛ`+5x=X로 놓으면  270. 02 3x+y=a, 3y=b라 하면. =XÛ`+10X+25 =(X+5)Û`. (3x+y)Ü`-27yÜ`. =(xÛ`+5x+5)Û`. =aÜ`-bÜ` =(a-b)(aÛ`+ab+bÛ`). 따라서. =(3x+y-3y){(3x+y)Û`+(3x+y)_3y+9yÛ`}. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(xÛ`+5x+5)Û`  (xÛ`+5x+5)Û`. =(3x-2y)(9xÛ`+15xy+13yÛ`) 따라서 p=15, q=13이므로. 다른풀이. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1에서 xÛ`+5x+4=Y로 놓으면. pq=15_13=195 ②. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1­=Y(Y+2)+1 . 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 11. (xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)+1­=(X+4)(X+6)+1. 11. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(12) 정답과 풀이 =YÛ`+2Y+1. =(Y+1)Û`. 09 aÛ`b+2ab-2aÛ`-4a+b-2를 b에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면. =(xÛ`+5x+5)Û`. (aÛ`+2a+1)b-2(aÛ`+2a+1)­=(a+1)Û`b-2(a+1)Û`. =(a+1)Û`(b-2) 위의 식의 값이 275=5Û`_11이므로. 07. 4xÛ`+yÛ`-4xy-2x+y-6. (a+1)Û`(b-2)=5Û`_11. =(4xÛ`-4xy+yÛ`)-(2x-y)-6. a, b는 자연수이므로. =(2x-y)Û`-(2x-y)-6. a+1=5, b-2=11. 이때 2x-y=X로 놓으면. 따라서 a=4, b=13이므로. (2x-y)Û`-(2x-y)-6­=XÛ`-X-6 =(X-3)(X+2). a+b=4+13=17.  17. =(2x-y-3)(2x-y+2) 즉,. 10 f(x)=2xÜ`-11xÛ`+20x-12라 하면. 4xÛ`+yÛ`-4xy-2x+y-6=(2x-y-3)(2x-y+2). f(2)=16-44+40-12=0. 따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ⑤ 2x-y-3이다. ⑤ 다른풀이. 이므로 f(x)는 x-2를 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 인수분해하면 2. 주어진 식을 y에 대한 내림차순으로 정리하면 yÛ`-(4x-1)y+4xÛ`-2x-6. 2. 2. =yÛ`-(4x-1)y+2(2xÛ`-x-3). -11. 20. -12. 4. -14. 12. -7. 6. 0. =yÛ`-(4x-1)y+2(x+1)(2x-3). 이때 2xÛ`-7x+6=(x-2)(2x-3)이므로. =(y-2x-2)(y-2x+3). f(x)=(x-2)(2xÛ`-7x+6)=(x-2)Û`(2x-3). =(2x-y+2)(2x-y-3). 따라서 a=-2, b=2, c=-3이므로 a+b+c=-2+2+(-3)=-3 ④. 08 조건 (가)에서 (b-c)a+bc-bÛ`=(b-c)a-b(b-c). 11 ⑴ f(x)=3xÜ`+2xÛ`+2x-1이라 하면. =(b-c)(a-b)+0. f {;3!;}=;9!;+;[email protected];+;[email protected];-1=0. 이므로 yy ㉠. b+c, a+b 조건 (나)에서. 이므로 f(x)는 x-;3!;을 인수로 갖는다. 따라서 조립제법을 이용하여 인수분해하면. (b-c)aÛ`-(bÛ`-cÛ`)a+bÛ`c-cÛ`b. ;3!;. =(b-c)aÛ`-(b-c)(b+c)a+bc(b-c) =(b-c){aÛ`-(b+c)a+bc}. 3. =(b-c)(a-b)(a-c) 3. (b-c)(a-b)(a-c)=0이므로 a=b 또는 b=c 또는 c=a. yy ㉡. 2. 2. -1. 1. 1. 1. 3. 3. 0. 따라서 ㉠, ㉡에서 주어진 삼각형은 a+b, b+c, a=c인 이등. f(x)={x-;3!;}(3xÛ`+3x+3)=(3x-1)(xÛ`+x+1). 변삼각형이다.. ⑵ f(x)=xÝ`-3xÜ`-3xÛ`+11x-6이라 하면  a+b, b+c, a=c인 이등변삼각형. 12. f(1)=1-3-3+11-6=0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 12. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(13) 이므로 f(x)는 x-1을 인수로 갖는다.. f(2)+g(2)­=(2+2)(2+1)+(2+2)(2-3) . 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1. 1. 1. =12-4=8. -3. -3. 11. -6. 1. -2. -5. 6. -2. -5. 6. 0. ④. 서술형. 따라서 f(x)=(x-1)(xÜ`-2xÛ`-5x+6) 이때 g(x)=xÜ`-2xÛ`-5x+6이라 하면 이므로 g(x)는 x-1을 인수로 갖는다. 다시 조립제법을 이용하여 인수분해하면 1. 1. 본문 28쪽. 01 1084 03 a=-14, b=-2. g(1)=1-2-5+6=0. 1. 연습장. -2. -5. 6. 1. -1. -6. -1. -6. 0. 02 (a+b)(b+c)(a+c). 01 30=x로 놓으면. ‘Ä30_32_34_36+16. yy ➊. =’Äx(x+2)(x+4)(x+6)+16 =’Ä{x(x+6)}{(x+2)(x+4)}+16 =¿¹(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16. 따라서 f(x)=(x-1)Û`(xÛ`-x-6)=(x-1)Û`(x+2)(x-3)  ⑴ (3x-1)(xÛ`+x+1) ⑵ (x-1)Û`(x+2)(x-3). 이때 xÛ`+6x=X라 하면. “Ã(xÛ`+6x)(xÛ`+6x+8)+16=’ÄX(X+8)+16 =”ÃXÛ`+8X+16 =”Ã(X+4)Û` =|X+4| =X+4=xÛ`+6x+4 yy ➋ =30Û`+6_30+4=1084 이므로. 12 h(x)=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-20x-12라 하자. h(-1)=0, h(-2)=0이므로 인수정리에 의해 h(x)는 x+1과 x+2를 인수로 가진다. -1. -2. 1. 1. 1. 2. 단계. -7. -20.  1084. 채점 기준. 비율. ➊. 주어진 식을 x에 관한 식으로 나타낸 경우. 30`%. ➋. 다항식을 인수분해한 경우. 40`%. ➌. 주어진 식의 값을 구한 경우. 30`%. -1. -1. 8. 12. 1. -8. -12. 0. -2. 2. 12. -1. -6. 0. h(x)­=(x+1)(x+2)(xÛ`-x-6). yy ➌. -12. 위의 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면. =(x+1)(x+2)(x+2)(x-3) =(x+1)(x-3)(x+2)Û` 이때 f(x)와 g(x)가 모두 x-a를 인수로 가져야 하므로 f(x)=(x+2)(x-3) f(x)=(x+2)(x+1) 또는 [ [ g(x)=(x+2)(x-3) g(x)=(x+2)(x+1) 따라서. ‘Ä30_32_34_36+16=1084. 02 (b+c)aÛ`+(bÛ`+2bc+cÛ`)a+bÛ`c+bcÛ` =(b+c)aÛ`+(b+c)Û`a+bc(b+c) =(b+c){aÛ`+(b+c)a+bc}. yy ➊. =(b+c)(a+b)(a+c) =(a+b)(b+c)(a+c). yy ➋  (a+b)(b+c)(a+c). 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 공통인수를 찾은 경우. 50`%. ➋. 다항식을 인수분해한 경우. 50`%. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 13. 13. 2017-11-01 오전 10:39:36.

(14) 정답과 풀이. 03 xÜ`-2xÛ`+4x-8을 인수분해하면. -2. 2. a. 2a+4. 24. -4. -2a+8. -24. a-4. 12. 0. xÜ`-2xÛ`+4x-8=xÛ`(x-2)+4(x-2)=(x-2)(xÛ`+4) xÜ`-2xÛ`+4x-8이 일차식 x+b( b는 정수)를 인수로 가지므로 yy ➊. b=-2. f(x)=xÜ`+3x+a라 할 때, f(x)가 일차식 x-2를 인수로 가지므로 인수정리에 의해. 위의 조립제법에서 2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24=(x+2){2xÛ`+(a-4)x+12} 이때 2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24가 계수가 모두 정수인 세 개. f(2)=2Ü`+3_2+a=0, 14+a=0 yy ➋. 따라서 a=-14.  a=-14, b=-2 단계. 2. 채점 기준. 비율. ➊. b의 값을 구한 경우. 50`%. ➋. a의 값을 구한 경우. 50`%. 의 일차식으로 인수분해되므로 2xÛ`+(a-4)x+12=(2x+m)(x+n)(m, n은 정수) 즉, 2xÛ`+(a-4)x+12=2xÛ`+(m+2n)x+mn에서 a-4=m+2n, 12=mn이어야 한다. mn=12를 만족시키는 두 정수 m, n의 순서쌍 (m, n)은 (12, 1), (6, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 6), (1, 12), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1) 의 12개이다. 위의 각 순서쌍에 대하여 정수 a(=m+2n+4) 의 값을 구해 보면 차례로 18, 14, 14, 15, 18, 29, -21, -10, -7, -6, -6, -10 이다. 따라서 정수 a는 -21, -10, -7, -6, 14, 15, 18, 29의 8. 내신. +. 개이다.. 수능. 01 16. 고난도 문항. 02 ②. ②. 본문 29쪽. 03 ③. 03 조건 (가)에서. 01. (xÛ`-4x+3)(xÛ`-12x+35)+k. (a-b)cÛ`+(2aÛ`-ab-bÛ`)c+aÜ`-abÛ`. =(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+k. =(a-b)cÛ`+(a-b)(2a+b)c+a(a-b)(a+b). ={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+k. =(a-b){cÛ`+(2a+b)c+a(a+b)}. =(xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+k. =(a-b)(c+a)(c+a+b). 이때 xÛ`-8x=X로 치환하면. =0. (xÛ`-8x+7)(xÛ`-8x+15)+k=(X+7)(X+15)+k. 이때 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로. =XÛ`+22X+105+k. c+a>0, c+a+b>0. =(X+11)Û`+k-16. 따라서 a=b이다.. =(xÛ`-8x+11)Û`+k-16. 조건 (나)에서 4a+2b-5c=4a+2a-5c=0이므로. 이때 주어진 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱꼴로 인수분해되 려면 k-16=0이어야 하므로 k=16이다.  16. 02. f(x)=2xÜ`+axÛ`+(2a+4)x+24라 하면. 6a=5c, c=;5^; a 즉, 삼각형 ABC는 세 변의 길이가 각 각 a, a, ;5^;a인 이등변삼각형이다. . f(-2)=-16+4a-4a-8+24=0. 이때 밑변의 길이가 ;5^;a인 삼각형 . 이므로 다항식 f(x)는 x+2를 인수로 갖는다.. ABC의 높이를 h라 하면 피타고라스. 14. A a. B. h. 3 a 5. a. C. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 14. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(15) 02 (x+y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ`=(xÛ`+xy+yÛ`)+xy. 정리에 의해. “Ã25aÛ`-9aÛ` h=¾¨aÛ`-{;5#;a}2`= =;5$;a 5. 3Û`=10+xy에서 xy=-1이므로 xÜ`+yÜ`=(x+y)Ü`-3xy(x+y)=3Ü`-3_(-1)_3=36. 이므로 삼각형 ABC의 넓이는. ⑤. ;2!;_;5^;a_;5$;a=;[email protected];aÛ`=48. 03 (a-2)(a+2)(aÛ`-2a+4)(aÛ`+2a+4). 에서 aÛ`=100, 즉 a=10이다. 따라서 삼각형 ABC의 세 변의 길이는 각각 a=10, b=10, c=12이므로 둘레의 길이는 a+b+c=10+10+12=32 ③. =(aÜ`+2Ü`)(aÜ`-2Ü`). =(10+8)(10-8). =36  36. 04 주어진 등식은 xÜ`+axÛ`+3x+1=(x-1)(x+1)P(x)+bx. 대단원 종합 문제. ={(a+2)(aÛ`-2a+4)}{(a-2)(aÛ`+2a+4)} . yy ㉠. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. 본문 30~33쪽. a+5=b, a-b=-5. 01 5xÛ`-7x+10 02 ⑤ 03 36 04 ② 05 ① 06 ④ 07 (x-5)Ü` 08 (x+a)(x+2a)(x-2a) 09 ④ 10 8 11 ⑤ 12 -7x-8 13 ① 14 17 ① ⑤ ① 15 16 17 18 46 19 4 20 ③ 21 ② 22 8 23 ② 24 xÜ`-2xÛ`-4x+11 25 3(x+y)(y+z)(z+x). yy ㉡. ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 a-3=-b, a+b=3. yy ㉡. ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 따라서 주어진 등식은 xÜ`-xÛ`+3x+1=(xÛ`-1)P(x)+4x a+b=3이므로 위 등식에 x=3을 대입하면 3Ü`-3Û`+3_3+1=(3Û`-1)P(3)+4_3. 01. (A★B)A­=(A-2B)A. 28=8P(3)+12. =2(A-2B)-A=A-4B =xÛ`-3x+2-4(-xÛ`+x-2). 따라서 P(3)=2. ②. =xÛ`-3x+2+4xÛ`-4x+8 =5xÛ`-7x+10  5xÛ`-7x+10. 05 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 4 이므로 f(x)=(x-2)Q(x)+4. 다른풀이. A★B­=A-2B . Q(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 나머지정. =(xÛ`-3x+2)-2(-xÛ`+x-2) =xÛ`-3x+2+2xÛ`-2x+4. yy ㉠. 리에 의해 Q(-3)=3 따라서. =3xÛ`-5x+6 이므로. f(-3)=(-3-2)Q(-3)+4=(-5)_3+4=-11. (A★B)A­=(3xÛ`-5x+6)(xÛ`-3x+2). =2(3xÛ`-5x+6)-(xÛ`-3x+2) =6xÛ`-10x+12-xÛ`+3x-2. 이므로 xf(x)를 x+3으로 나누었을 때의 나머지는 나머지정 리에 의해 (-3)_f(-3)=(-3)_(-11)=33 ①. =5xÛ`-7x+10. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 15. 15. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(16) 정답과 풀이. 06 27xÜ`+64yß`­=(3x)Ü`+(4yÛ`)Ü`. 즉, f(x)=g(x)_x+x이므로 f(x)를 g(x)로 나누었을. 때의 몫은 Q(x)=x, 나머지는 R(x)=x이다.. =(3x+4yÛ`)(9xÛ`-12xyÛ`+16yÝ`) 이때 9xÛ`-12xyÛ`+16yÝ`은 정수 계수 범위에서 더 이상 인수분. 그런데 xÜ`+x=x(xÛ`+1)이므로 f(x)를 Q(x)=x로 나 누었을 때의 몫은 xÛ`+1, 나머지는 0이다.. 해되지 않으므로. ㄷ. f(x)-Q(x)­=g(x)Q(x)+R(x)-Q(x) . p=-12, q=16. ={ g(x)-1}Q(x)+R(x). 따라서. ­이때 R(x)의 차수는 g(x)-1의 차수보다 작으므로 . p+q=-12+16=4 ④. f(x)-Q(x)를 g(x)-1로 나누었을 때의 나머지는 R(x) 이다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.. 07 x-7=X라 하면. ④. (x-7)Ü`+6(x-7)Û`+12(x-7)+8 =XÜ`+6XÛ`+12X+8. 10 P(x)를 x-2로 나눈 몫이 Q(x), 나머지가 5이므로. =XÜ`+3_XÛ`_2+3_X_2Û`+2Ü`. yy ㉠. P(x)=(x-2)Q(x)+5. =(X+2)Ü`=(x-7+2)Ü`=(x-5)Ü`  (x-5)Ü`. 또한 Q(x)를 x-1로 나눈 몫을 QÁ(x)라 하면 나머지가 3이 므로 yy ㉡. Q(x)=(x-1)QÁ(x)+3. 08 xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ`=xÛ`(x+a)-4aÛ`(x+a). =(x+a)(xÛ`-4aÛ`) =(x+a)(x+2a)(x-2a)  (x+a)(x+2a)(x-2a). ㉡을 ㉠에 대입하면 P(x)­=(x-2){(x-1)QÁ(x)+3}+5. =(x-2)(x-1)QÁ(x)+3x-1 따라서 R(x)=3x-1이므로 R(3)=3_3-1=8. 다른풀이. 8. f(x)=xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ`이라 하자. f(-a)=0이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -a. 1. 1. a. -4aÛ` -4aÜ`. -a. 0`. 4aÜ`. 0. -4aÛ`. 0. f(x)­=xÜ`+axÛ`-4aÛ`x-4aÜ` =(x+a)(xÛ`-4aÛ`). =(x+a)(x-2a)(x+2a). 11 f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 나머지가 16이므로 나머 지정리에 의해 f {-;2!;}=16 (x-1)Û` f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면 나머지정리에 의해. R={-;2!;-1}2 f {-;2!;}=;4(;_16=36. (x-1)Û` f(x)를 2x+1로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지. 09 ㄱ. 다항식 f(x)를 g(x)로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R(x)이므로. 는 36이므로 (x-1)Û` f(x)=(2x+1)Q(x)+36. yy ㉠. ㉠의 양변에 x=1을 대입하면. f(x)=g(x)Q(x)+R(x). 0=3_Q(1)+36. 이때 R(x)의 차수는 g(x)의 차수보다 작다.. 따라서 Q(1)=-12이므로 Q(x)를 x-1로 나누었을 때의 나. ㄴ. f(x)=xÜ`+x, g(x)=xÛ`이면. 머지는 나머지정리에 의해 -12이다.. xÜ`+x=xÛ`_x+x. 16. ⑤. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 16. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(17) 12 다항식 f(x)를 (x+2)Û`으로 나누었을 때의 몫을 Q(x) 라 하면 나머지가 2x+1이므로 f(x)=(x+2)Û`Q(x)+2x+1. 의 나머지는 0이고, ㉠의 몫을 x+1로 다시 나누었을 때의 나 머지도 0이어야 한다. -1. 1. xf(x)­=x(x+2)Û`Q(x)+2xÛ`+x. =x(x+2)Û`Q(x)+2(xÛ`+4x+4)-7x-8 =x(x+2)Û`Q(x)+2(x+2)Û`-7x-8. -1. 1. =(x+2)Û`{xQ(x)+2}-7x-8 따라서 xf(x)를 (x+2)Û`으로 나누었을 때의 나머지는 . 1. -7x-8이다.  -7x-8. a. b. -4. -1. -a+1. a-b-1. a-1. -a+b+1. a-b-5. -1. -a+2. a-2. -2a+b+3. 위의 조립제법에서 xÜ`+axÛ`+bx-4를 x+1로 나누었을 때의 나머지는 a-b-5이고, 이때의 몫 xÛ`+(a-1)x-a+b+1 을 x+1로 나누었을 때의 나머지는 -2a+b+3이다.. 13 f(x)=xÜ`-axÛ`-bx+9a, g(x)=xÛ`-b라 하자.. 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4가 (x+1)Û`으로 나누어떨어지려면 두. g(x)가 일차식 x-a로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해. 등식 a-b-5=0, -2a+b+3=0이 모두 성립해야 한다.. g(a)=aÛ`-b=0. 위의 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-7이므로. b=aÛ`. a+b=-9. yy ㉠. ①. 이때 f(x)=xÜ`-axÛ`-bx+9a가 xÛ`-b로 나누어떨어지므로 f(x)는 일차식 x-a로도 나누어떨어진다. 따라서 인수정리에 의해 f(a)­=aÜ`-aÜ`-ab+9a. 16 xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`­=xÛ`(x-y)-yÛ`(x-y) . =(x-y)(xÛ`-yÛ`). =-a(b-9)=0. =(x-y)Û`(x+y). 이때 a>0이므로 b=9. 이때 x=’5+’3, y=’3-‘5이므로. 따라서 ㉠에서 a=3 (a>0)이므로. x+y=2’3, x-y=2’5. a+b=3+9=12. 따라서 ①. xÜ`-xÛ`y-xyÛ`+yÜ`­=(x-y)Û`(x+y) =(2’5)Û`_2’3=40’3 ⑤. 14 f(2x)=g(x)(x-2)+3에 x=2를 대입하면 f(4)=3 다항식 f(x)g(x-1)을 x-4로 나누었을 때의 나머지는 나머 지정리에 의해. 17 f(x)=3xÜ`+7xÛ`-4라 하면 f(-1)=-3+7-4=0이 므로 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.. f(4)g(4-1)=f(4) g(3)=3 g(3)=24 따라서 g(3)=8이므로 g(x)+xÛ`을 x-3으로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1. 3. g(3)+3Û`=8+9=17  17. 0. -4. -3. -4. 4. 4. -4. 0. f(x)=(x+1)(3xÛ`+4x-4)=(x+1)(x+2)(3x-2). 15. 다항식 xÜ`+axÛ`+bx-4가 (x+1)Û`을 인수로 가지려면. 나눗셈 (xÜ`+axÛ`+bx-4)Ö(x+1). 3. 7. 따라서 a=1, P(x)=3x-2이므로 P(a)=P(1)=3-2=1. yy ㉠. ①. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 17. 17. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(18) 정답과 풀이. 18 f(x)를 x-9로 나누었을 때의 나머지는 f(9)이므로. 이므로 g(5)=k(5+1)(5-4)(5+3)=48k=96. f(9)=a_10Ü`+b_10Û`+c_10+d=2438 이때 a, b, c, d는 각각 10보다 작은 자연수이므로. k=2. a=2, b=4, c=3, d=8. 따라서 g(x)=2(x+1)(x-4)(x+3)이므로. f(x)=2(x+1)Ü`+4(x+1)Û`+3(x+1)+8. g(2)=2_3_(-2)_5=-60 ③. 따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해 f(1)=2_2Ü`+4_2Û`+3_2+8=16+16+6+8=46  46. 19 f(x)=xÛ`+ax+b라 하고 다항식 xÇ` f(x)를 (x+2)Û`으. 21 p(x)=xÜ`+3xÛ`-13x-15라 하면 p(-1)=-1+3+13-15=0 이므로 인수정리에 의해 다항식 p(x)는 x+1을 인수로 갖는다.. 로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지는 2n+1(x+2)이. -1. 1. 므로 xn f(x)=(x+2)Û`Q(x)+2n+1(x+2). yy ㉠. ㉠의 양변에 x=-2를 대입하면 (-2)n f(-2)=(-2+2)Û`Q(-2)+2n+1(-2+2)이므로 f(-2)=0 f(x)=xÛ`+ax+b=(x+2)(x-c)(c는 상수)로 놓을 수 있 으므로 n. n. n. x f(x)=x (xÛ`+ax+b)=x (x+2)(x-c). yy ㉡. 한편 ㉠에서 xn f(x)=(x+2){(x+2)Q(x)+2n+1}. yy ㉢. 이므로 ㉡, ㉢에서. -15. -1. -2. 15. 2. -15. 0. 위의 조립제법에서 xÜ`+3xÛ`-13x-15­=(x+1)(xÛ`+2x-15). =(x+1)(x-3)(x+5) 다항식 f(x)를 x Ü`+3x Û`-13x-15로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 f(x)=(x+1)(x-3)(x+5)Q(x)+xÛ`+x 이므로 f(xÛ`)­=(xÛ`+1)(xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+(xÛ`)Û`+xÛ`. yy ㉣. 그런데 n이 홀수일 때 (-2)n=-2n이므로 ㉣에서. +3 =(xÝ`-2xÛ`-3){(xÛ`+5)Q(xÛ`)+1}+3xÛ`+3 즉, 다항식 f(xÛ`)을 xÝ`-2xÛ`-3으로 나누었을 때의 나머지는. n+1. -2 (-2-c)=2. 3xÛ`+3이므로. -(-2-c)=2, 2+c=2. R(x)=3xÛ`+3. c=0이므로 f(x)=xÛ`+ax+b=(x+2)(x-c)에서. 따라서 R(2)=3_2Û`+3=15. xÛ`+ax+b=(x+2)x=xÛ`+2x. ②. 따라서 a=2, b=0이므로 aÛ`+bÛ`=4 4. 20 xÛ`-3x-4=(x+1)(x-4), x Û`+4x+3=(x+1)(x+3)이므로 조건 (가)에서 f(x)는. 22 h(x)=xÝ`+2xÜ`-7xÛ`-20x-12라 하자. h(-1)=0, h(-2)=0이므로 h(x)는 x+1과 x+2를 인수 로 가진다. -1. 1. x+1, x-4, x+3을 모두 인수로 가져야 한다. 즉, f(x) 중에서 가장 차수가 낮은 것은 삼차식이고, g(x)=k(x+1)(x-4)(x+3)(k는 0이 아닌 상수) 로 놓을 수 있다. 이때 조건 (나)에서 나머지정리에 의해 f(5)=96, 즉 g(5)=96. 18. =­(xÝ`-2xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+(xÝ`-2xÛ`-3)+3xÛ`. 위 등식의 양변에 x=-2를 대입하면. n. -13. =(xÝ`-2xÛ`-3)(xÛ`+5)Q(xÛ`)+xÝ`+xÛ` . xn(x-c)=(x+2)Q(x)+2n+1 (-2)n(-2-c)=2n+1. 1. 3. -2. 1. 1. 2. -7. -20. -12. -1. -1. 8. 12. 1. -8. -12. 0. -2. 2. 12. -1. -6. 0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 18. 2017-11-01 오전 10:39:37.

(19) 위와 같이 조립제법을 이용하여 h(x)를 인수분해하면 h(x)­=(x+1)(x+2)(xÛ`-x-6). 이 직육면체의 면 중에서 넓이가 가장 큰 면의 넓이는. (2x+3)(x+y)이므로 구하는 두 면의 넓이의 합은. =(x+1)(x+2)(x+2)(x-3) . 2(2x+3)(x+y)=4xÛ`+4xy+6x+6y. =(x+1)(x-3)(x+2)Û`. 따라서 xy의 계수는 4이다. ②. 따라서 f(x)g(x)=(x+1)(x-3)(x+2)Û ` 이므로 f(x), g(x)가 될 수 있는 경우는 다음과 같다. Úà. ­f(x)=(x+1)(x+2) . 24 삼차 다항식 P(x)-3은 (x-2)Û`으로 나누어떨어지므로. g(x)=(x-3)(x+2). P(x)-3=(x-2)Û`(ax+b)(단, a, b는 상수) y ㉠y ➊. Ûà. ­f(x)=(x-3)(x+2) . 로 놓을 수 있다.. g(x)=(x+1)(x+2). Üà. ㉠에 x=1을 대입하면. ­ f(x)=(x+1)(x-3) . P(1)-3=a+b, 6-3=a+b. g(x)=(x+2)Û`. Ýà. ­ f(x)=(x+2)Û`. ㉠에 x=3을 대입하면. g(x)=(x+1)(x-3)`. P(3)-3=3a+b, 8-3=3a+b. 위의 모든 경우에 대하여 조건 (가)를 만족시키는 실수 a는 yy ㉠. -2, -1, 3 의 3개가 존재한다.. yy ㉢. 3a+b=5 ㉡, ㉢을 연립하여 풀면. yy ➋. a=1, b=2. 그런데 Ú 또는 Û인 경우에는 f(x)+g(x)­=(x+2){(x+1)+(x-3)}. yy ㉡. a+b=3. 따라서 P(x)-3=(x-2)Û`(x+2)이므로. P(x)­=(x-2)Û`(x+2)+3 . =2(x+2)(x-1). =(xÛ`-4x+4)(x+2)+3. 이므로 ㉠ 중에서 (나)를 만족시키는 실수 a는 -2의 한 개가. yy ➌. =xÜ`-2xÛ`-4x+11. 존재한다..  xÜ`-2xÛ`-4x+11. 한편 Ü 또는 Ý인 경우에는. 단계. f(x)+g(x)=(x+1)(x-3)+(x+2)Û`=2xÛ`+2x+1 이므로 ㉠ 중에서 (나)를 만족시키는 실수 a는 존재하지 않는 다. 따라서 f(x)+g(x)=2(x+2)(x-1)이므로. 채점 기준. 비율. ➊. P(x)-3=(x-2)Û`(ax+b)로 놓은 경우. 30`%. ➋. a, b의 값을 구한 경우. 40`%. ➌. P(x)를 내림차순으로 나타낸 경우. 30`%. f(-3)+g(-3)=2(-3+2)(-3-1)=8 8. 23 2xÜ`+(2y+5)xÛ`+(5y+3)x+3y를 y에 대한 내림차순. 25 y+z=w라 하면 (x+y+z)Ü`=(x+w)Ü` =xÜ`+wÜ`+3xw(x+w). 으로 정리하여 인수분해하면. =xÜ`+(y+z)Ü`+3x(y+z)(x+y+z). (2xÛ`+5x+3)y+2xÜ`+5xÛ`+3x. =xÜ`+yÜ`+zÜ`+3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z) yy ➊. =(2xÛ`+5x+3)y+x(2xÛ`+5x+3). 이므로. =(2xÛ`+5x+3)(x+y). (x+y+z)Ü`-xÜ`-yÜ`-zÜ`. =(x+1)(2x+3)(x+y). =3yz(y+z)+3x(y+z)(x+y+z). 즉, 이 직육면체의 세 모서리의 길이는 x+1, 2x+3, x+y이. =3(y+z)(yz+xÛ`+xy+xz). 다.. =3(y+z){xÛ`+(y+z)x+yz}. 이때 x>1, y>1이므로 세 모서리의 길이 중 가장 작은 것은. =3(y+z)(x+y)(x+z). x+1이다.. =3(x+y)(y+z)(z+x). yy ➋. yy ➌. 정답과 풀이. (상) 해 01-19 올림기본 1단원-오2.indd 19. 19. 2017-11-01 오전 10:39:38.

(20) 정답과 풀이 Ⅱ. 방정식과 부등식.  3(x+y)(y+z)(z+x) 단계. 채점 기준. 비율. ➊. (x+y+z)Ü`을 전개한 경우. 30`%. ➋. 주어진 식을 전개한 경우. 30`%. ➌. 주어진 식을 인수분해한 경우. 40`%. 04. 복소수와 이차방정식. 기본 유형 익히기. 유제. 1. ⑤ 2. ② 5. ⑴ 11 ⑵ -36. 1.. 본문 37~39쪽. 3. 416 4. 3 6. 3xÛ`-x+2=0. (x-1)+x(x-3)i=y에서. 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x-1=y, x(x-3)=0 x(x-3)=0에서 x=0 또는 x=3 x=0이면 y=-1 x=3이면 y=2 y>0에서 x=3, y=2이므로 x+y=3+2=5 ⑤. 2.. 복소수 a의 (허수부분)=0 a=a에서 ® b®=-b에서 복소수 b의 (실수부분)=0. 즉, 실수 a, b에 대하여 a=a, b=bi꼴로 나타나므로 a+b=2+3i에서 a+bi=2+3i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a=2, b=3이므로 a=2, b=3i 그러므로 a 2 2i 2i 2 = = = =- i b 3i -3 3 3i Û` É{. a 2 }= i b 3. 따라서 a a 2 2 4 4 _É{ }=- i_ i=- i Û`= b b 3 3 9 9 ②. 3.. 14-36(12+15-12)+. =13 i(12+1412 i)+ =13 i(12+213 i)+ =16 i-6-. 20. 1448+14-86 14-26. 1448+18 i 12 i. 1448 i+18 i Û` 12 i Û`. 413 i 212 + 12 12. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 20. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(21) =16 i-6-216 i+2. 3[xÛ`-{. =-4-16 i 따라서 a=-4, b=-16이므로 ab=416  416. 4.. 1 1 1 ]=0 + }x+ a b ab. 3{xÛ`-;3!; x+;[email protected];}=0 3xÛ`-x+2=0  3xÛ`-x+2=0. 이차방정식 xÛ`+2x+2k-3=0의 판별식을 D라 하면. 서로 다른 두 허근을 가지므로 D =1Û`-(2k-3)<0 4. 유형 확인. -2k+4<0 k>2 따라서 정수 k의 최솟값은 3이다. 3. 5.. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여. 02 -1 03 ② 04 -5 05 ① 07 ④ 08 ④ 09 ③ 10 ② 12 3xÛ`+8x-16=0 13 ① 14 ③. z는 실수이어야 한다. ® 01 z=z에서. a+b=3, ab=-1 ⑴ aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=3Û`-2_(-1). 01 ① 06 ③ 11 ②. 본문 40~41쪽. =9+2=11. z가 실수가 되려면 z의 (허수부분)=0이어야 하므로 x+1=0에서 x=-1 ①. aÛ` bÛ` aÜ`+bÜ` ⑵ + = =-(aÜ`+bÜ`) b a ab 이때 aÜ`+bÜ`‌=(a+b)Ü`-3ab(a+b) =3Ü`-3_(-1)_3. 02 (1+i)xÛ`-(1-3i)x=2-2i에서. (xÛ`-x)+(xÛ`+3x)i=2-2i. x가 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. =36. xÛ`-x=2, xÛ`+3x=-2. 이므로. xÛ`-x=2에서. aÛ` bÛ` + =-(aÜ`+bÜ`)=-36 b a. xÛ`-x-2=0, (x+1)(x-2)=0  ⑴ 11 ⑵ -36. 이므로 x=-1 또는 x=2. yy ㉠. xÛ`+3x=-2에서. 6.. 이차방정식 2xÛ`-x+3=0의 두 근이 a, b이므로 근과. 계수의 관계에 의하여 a+b=;2!;, ab=;2#;. xÛ`+3x+2=0, (x+1)(x+2)=0 이므로 x=-1 또는 x=-2. yy ㉡. ㉠, ㉡에서 x=-1  -1. 그러므로 ;2!; 1 1 a+b + = = =;3!; a b ab ;2#;. 03 z=a+bi (단, a, b는 실수, a+0, b+0)라 하면 . 1 1 1 _ = =;[email protected]; a b ab. ㄱ. z+z®=(a+bi)+(a-bi)=2a. 1 1 따라서 xÛ`의 계수가 3이고 , 을 두 근으로 하는 이차방정 a b. ㄴ. (1+z)(1+z®)=1+z+z®+zz®=1+(z+z®)+zz®. 식은 . 이때 ㄱ에서 z+z는 ® 실수이고. z=a-bi이다. ® 따라서 z+z는 ® 실수이다.. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 21. 21. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(22) 정답과 풀이 1a. zz=(a+bi)(a-bi)=aÛ `-(bi)Û` ® =aÛ`-(-bÛ`)=aÛ`+bÛ` 이므로 zz는 ® 실수이다. 따라서 z+z,® zz가 실 ® 모두 실수이므로 (1+z)(1+z)도 ® 수이다. ㄷ.. z a+bi = z® a-bi. =. aÛ`+2abi+bÛ`i Û` = aÛ`+bÛ`. =. !#ab-1a 1b+!#2b!#2b-!$4bÛ`. =!#ab-!#ab+!$-2b i_!$-2b i-|2b| =-2bi Û`+2b=2b+2b=4b ③. (a+bi)Û` (a-bi)(a+bi). 07 (1+2i)x+(1-i)y=-3에서 (x+y)+(2x-y)i=-3 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. aÛ`-bÛ` 2ab + i aÛ`+bÛ` aÛ`+bÛ`. ab+0이므로. 06 !b =-&’¾;bA; 이고 a+0, b+0이므로 a>0, b<0에서. x+y=-3, 2x-y=0 위의 두 식을 연립하여 풀면. z 는 실수가 아니다. z®. x=-1, y=-2. 이상에서 실수인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②. 5 (3+2i)(-1+i)+ 1+3i. 04. =-3+3i-2i+2i Û`+ =-5+i+. 5(1-3i) 1Û`-(3i)Û`. =-5+i+. 5(1-3i) 10. 142x1y+. 14-8 148x =14-2 14-2+ 1y 14-2. . =12 i_12 i+. . =2i Û`+14. . =-2+2=0. 18 i 12 i. ④. 5(1-3i) (1+3i)(1-3i). 08 이차방정식 xÛ`-6x+a+1=0이 실근을 가지려면 판별 식을 D라 할 때, D =(-3)Û`-(a+1)¾0, 8-a¾0 4. =-5+i+;2!;-;2#; i=-;2(;-;2!; i. aÉ8. 따라서. 따라서 정수 a의 최댓값은 8이다. ④. a+b=-;2(;-;2!;=-5  -5. 09 이차식 xÛ`+2kx+2k+3이 완전제곱식이므로 이차방정 식 xÛ`+2kx+2k+3=0은 중근을 갖는다. 이차방정식 xÛ`+2kx+2k+3=0의 판별식을 D라 할 때,. (1-i)Û` 1-i -2i z= = = =-i이므로 1+i 2 (1+i)(1-i). 05. D =kÛ`-(2k+3)=0 4. 1+z+zÛ`+y+zÚ`â`. kÛ`-2k-3=0. =1+(-i)+(-i)Û`+(-i)Ü`+y+(-i)Ú`â`. (k-3)(k+1)=0. =(1-i+i Û`-i Ü`)+(i Ý`-i Þ`+i ß`-i à`)+i ¡`-i á`+i Ú`â`. k=3 또는 k=-1. =(1-i-1+i)+(1-i-1+i)+1-i-1=-i. 이때 k>0이므로 k=3이다. ①. 22. ③. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 22. 2017-11-01 오전 10:40:11.

(23) 10 주어진 이차방정식이 중근을 가지므로 판별식을 D라 할 때, D ={-(k+a)}Û`-(kÛ`+2k+aÛ`)=0 4. 그러므로 방정식 f(2x-3)=0의 두 근의 합은 a+3 b+3 a+b+6 -5+6 1 + = = = 2 2 2 2 2 ①. 2ak-2k=0 2k(a-1)=0. 14 이차방정식 xÛ`+ax+b=0의 계수가 실수이므로 한 근이. 이 식이 k의 값에 관계없이 항상 성립하므로 a-1=0. 1+2i이면 다른 한 근은 1-2i이다.. 따라서 a=1. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 ②. (1+2i)+(1-2i)=-a에서 a=-2 (1+2i)(1-2i)=1Û`-(2i)Û`=1+4=5=b 따라서 a+b=-2+5=3. 11. 이차방정식 4xÛ`-2x+1=0에서 근과 계수의 관계에 의. ③. -2 하여 a+b=- =;2!;, ab=;4!;이므로 4 aÛ`-ab+bÛ`=(a+b)Û`-3ab . ={;2!;}2`-3_;4!;. 서술형. =;4!;-;4#;=-;2!; ②. 12 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=-4, ab=-3이므로. 01 8-3i. 02 M=1, m=-2 03 -3. (1-i)z+i z®=(1-i)(a+bi)+i(a-bi) =(a+bi-ai-bi Û`)+(ai-bi Û`). =(a+bi-ai+b)+(ai+b). yy ➊. =(a+2b)+bi. 그러므로. 즉, (a+2b)+bi=2-3i이므로 복소수가 서로 같을 조건에. 1 1 4 8 + }=-4+ =a b 3 3. 의하여. 1 1 4 16 (a+b){ + }=-4_ =a b 3 3 따라서 a+b,. 본문 42쪽. 01 z=a+bi(a, b는 실수)라 하면 z®=a-bi이므로. 1 1 a+b 4 + = = a b ab 3 (a+b)+{. 연습장. yy ➋. a+2b=2, b=-3. 1 1 + 을 두 근으로 하고 xÛ`의 계수가 3인 a b. 이차방정식은 3[xÛ`-{-;3*;}x-;;Á3¤;;]=0이므로 3xÛ`+8x-16=0  3xÛ`+8x-16=0. 13 이차방정식 f(x)=0의 두 근을 a, b라 하면. 따라서 a=8, b=-3이므로 구하는 복소수 z는 yy ➌. z=8-3i .  8-3i 단계. 채점 기준. 비율. ➊. 복소수의 연산을 한 경우. 50`%. ➋. 복소수가 서로 같을 조건을 이용한 경우. 20`%. ➌. 복소수 z를 구한 경우. 30`%. f(a)=0, f(b)=0이고 a+b=-5. 02 이차방정식 xÛ`-x+k-1=0이 서로 다른 두 실근을 가. 이때 방정식 f(2x-3)=0의 두 근은 2x-3=a, 2x-3=b. 지려면 판별식을 DÁ이라 할 때,. 를 만족시키므로. DÁ=1-4(k-1)>0, 4k<5. a+3 b+3 , x= x= 2 2. k<;4%;. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 23. 23. 2017-11-01 오전 10:40:11. (24) 정답과 풀이 yy ➊. 에서 정수 k의 최댓값은 1이므로 M=1. 자연수 k에 대하여 z4k-3=-i, z4k-2=-1, z4k-1=i, z4k=1. 이차방정식 2xÛ`-x+k+3=0이 서로 다른 두 허근을 가지려. 이므로 z4k-3+z4k-2+z4k-1+z4k=0에서. 면 판별식을 Dª라 할 때,. z4k-3+z4k-2+z4k-1=-1. Dª=1-4_2_(k+3)<0, 8k>-23. 그러므로 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n)=-1을 만족시키는. k>-;;ª8£;;. 자연수 n은 n=4k-1(k는 자연수) 꼴이므로 이러한 150 이. 에서 정수 k의 최솟값은 -2이므로 m=-2. yy ➋. 하의 자연수 n은 k=1에서 k=37까지 총 37개이다. ②.  M=1, m=-2 단계. 채점 기준. 비율. ➊. M의 값을 구한 경우. 50`%. ➋. m의 값을 구한 경우. 50`%. 02 0이 아닌 복소수 a에 대하여 a=a+bi (a, b는 실수)라 하자. ㄱ. aÛ`+a® Û`=0을 만족시키는 복소수 a는. (a+bi)Û`+(a-bi)Û`=2aÛ`-2bÛ`=2(aÛ`-bÛ`)=0. 03 이차방정식 xÛ`-(kÛ`+2k-3)x+4k-3=0의 두 근을. 에서 a=b 또는 a=-b를 만족시키는 복소수 a는 무수히. a+b=0, ab<0. ㄴ. a a® =-1에서 (a+bi)(a-bi)=aÛ`+bÛ`=-1을 만족시. 많다.. a, b라 하면 두 실근의 절댓값이 같고 부호가 서로 다르므로. yy ➊. 키는 실수 a, b는 존재하지 않으므로 복소수 a는 존재하지. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=kÛ`+2k-3=0, ab=4k-3<0 kÛ`+2k-3=0에서 (k+3)(k-1)=0이므로 yy ➌. k=-3 또는 k=1. 않는다.. yy ➋. ㄷ. b+0일 때. (a+bi)Û` aÛ` = (a+bi)-(a-bi) a-a®. 이 중 ab=4k-3<0을 만족시키는 k의 값은 k=-3이다. yy ➍. .  -3 단계. 채점 기준. 비율. ➊. a, b의 조건을 구한 경우. 30`%. ➋. 두 근의 합과 곱을 구한 경우. 20`%. ➌. 이차방정식의 해를 구한 경우. 30`%. ➍. k의 값을 구한 경우. 20`%. =. aÛ`+2abi-bÛ` 2bi. =. (bÛ`-aÛ`)i aÛ`-bÛ` +a +a= 2b 2bi. 이므로. a+. 두 복소수가 서로 같을 조건에 의하여. bÛ`-aÛ`=-2bÛ`. 즉, aÛ`=3bÛ`을 만족시키는 실수 a, b는 무수히 많으므로 . 복소수 a는 무수히 많다.. (bÛ`-aÛ`)i =a-bi 2b bÛ`-aÛ` =-b에서 2b. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤. 내신. +. 수능. 01 ②. 고난도 문항. 02 ⑤. 03 2'5. 본문 43쪽. 03 이차방정식 xÛ`+3x-1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 ab=-1 a=-. 1-i. (1-i)Û`. 01 z= 1+i = (1+i)(1-i) =. 24. 1-2i+i Û` -2i =-i = 2 1Û`-i Û`. 1 1 , b=b a. 이때 bf(a)=1, af(b)=1이므로 f(a)=-a, f(b)=-b 에서 f(a)+a=0, f(b)+b=0. 올림포스•수학 (상). (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 24. 2017-11-01 오전 10:40:12. (25) Ⅱ. 방정식과 부등식. 즉, a, b는 이차방정식 f(x)+x=0의 두 근이다. f(x)+x=a(xÛ`+3x-1) (a+0)이라 하면. 05. f(0)=-a=1에서 a=-1이므로 f(x)+x=-(xÛ`+3x-1). 이차방정식과 이차함수. 기본 유형 익히기. f(x)=-xÛ`-4x+1 그러므로 이차방정식 f(x)=0은 -xÛ`-4x+1=0이므로 근과. 1. 24. 2. ⑤. 유제. 3. 13. 본문 46~47쪽. 4. 11. 계수의 관계에 의하여. 1.. p+q=-4, pq=-1 (p-q)Û`=(p+q)Û`-4pq. 이차함수 y=2xÛ`+kx+3k+1의 그래프가 x축에 접하. 므로 이차방정식 2xÛ`+kx+3k+1=0의 판별식을 D라 할 때,. =(-4)Û`-4_(-1)=20. D=kÛ`-4_2_(3k+1)=0. 따라서. kÛ`-24k-8=0. |p-q|=!$(p-q)Û`=1320=215. 이 방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 이차방정식의 근과  215. 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 합은 24이다.  24. 2.. 함수 y=-2xÛ`-5x+8의 그래프와 직선 y=3x+k가. 만나므로 이차방정식 -2xÛ`-5x+8=3x+k, 즉 2xÛ`+8x+k-8=0의 판별식을 D라 할 때, D =4Û`-2_(k-8)¾0 4 32-2k¾0 kÉ16 따라서 정수 k의 최댓값은 16이다. ⑤. 3. . y=2xÛ`-6x+k =2(xÛ`-3x)+k. =2 {x-;2#;}2`+k-;2(;. 이차함수 y=2xÛ`-6x+k는 최솟값 2k-3을 가지므로 k-;2(;=2k-3에서 k=-;2#; 한편 y=-xÛ`+4kx+4=-(x-2k)Û`+4+4kÛ`에서 이차함 수 y=-xÛ`+4kx+4는 x=2k일 때 최댓값 4+4kÛ`을 갖는다. 따라서 구하는 최댓값은. 4+4kÛ`=4+4_{-;2#;}2`=4+9=13.  13. 정답과 풀이. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 25. 25. 2017-11-01 오전 10:40:12. (26) 정답과 풀이. 4.. f(x)=axÛ`-2ax+b=a(x-1)Û`-a+b에서 a>0이. 고, 꼭짓점의 x좌표가 1이므로 x=1에서 최솟값, x=-2에서 최댓값을 갖는다. 즉, f(1)=-a+b=-1. ㉠이 k의 값에 관계없이 성립하므로 2a+5=0 a=-;2%; ⑤. f(-2)=8a+b=26 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=2. 04 이차방정식 xÛ`+ax-3=0의 두. 따라서 f(x)=3xÛ`-6x+2이므로. 근은 이차함수 f(x)=xÛ`+ax-3의. f(-1)=3+6+2=11  11. 그래프와 x축의 교점의 x좌표와 같으. a. -2. 1 2 b. x. 므로 a<-2, 10 이므로. 04 ① 05 ③ 09 3 10 ⑤ 14 45`m. f(-2)=(-2)Û`+a(-2)-3=1-2a<0에서 a>;2!;. 01 이차함수 y=xÛ`-2x+a의 그래프와 x축이 만나는 점의 x좌표는 방정식 xÛ`-2x+a=0의 실근과 같으므로 이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여 -2+b=2, -2b=a가 성립한. . yy ㉠. f(1)=1Û`+a-3=a-2<0에서 a<2. yy ㉡. f(2)=2Û`+2a-3=2a+1>0에서 a>-;2!;. yy ㉢. ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 a의 값의 범위는. 다.. ;2!;3. 11 이차함수 y=xÛ`-3x+a의 그래프와 직선 y=2x-1의. 따라서 정수 k의 최솟값은 4이다. ④. 한 교점의 x좌표가 1이므로 x=1은 이차방정식 xÛ`-3x+a=2x-1, 즉 xÛ`-5x+a+1=0의 한 실근이다. x=1을 대입하면 1-5+a+1=0에서. 08. 이차함수. a=3. 따라서 y=xÛ`-3x+3= {x-;2#;}2`+;4#;이므로 x=;2#;일 때, 최. y=xÛ`+4x+aÛ`+a =(x+2)Û`+aÛ`+a-4 는 x=-2에서 최솟값 aÛ`+a-4를 갖는다.. 솟값 ;4#;을 갖는다. . b=-2, aÛ`+a-4=2에서.  ②. aÛ`+a-6=0 (a+3)(a-2)=0. 12 xÛ`-2x=t로 놓으면 t=(x-1)Û`-1이므로 -1ÉxÉ2. a<0이므로 a=-3 y=-3xÛ`-2x+5. 일 때 -1ÉtÉ3. =-3{x+;3!;}2`+5+;3!;. 이때 주어진 함수는. =-3{x+;3!;}2`+;;Á3¤;;. y=tÛ`-6t+3=(t-3)Û`-6 따라서 -1ÉtÉ3이므로 t=-1일 때, 최댓값 10을 갖는다.  10. 따라서 x=-;3!;일 때, 최댓값 ;;Á3¤;;을 갖는다. ⑤. 09 이차함수 y=xÛ`+2x+a+3의 그래프가 x축에 접하므로 이차방정식 xÛ`+2x+a+3=0의 판별식을 D라 할 때,. 13 함수 . y. y=|xÛ`-4x-5| =|(x+1)(x-5)|. 9 7. =|(x-2)Û`-9|. D =1Û`-(a+3)=0 4. 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.. a=-2. x=-1 또는 x=5일 때 y=0,. (상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 27. y=|xÛ`-4x-5|. 56. x. 정답과 풀이. 27. -1 O 2. 2017-11-01 오전 10:40:12. (28) 정답과 풀이 x=2일 때 y=9, x=6일 때 y=|4Û`-9|=7이므로 -1ÉxÉ6에서 함수 y=|xÛ`-4x-5|는 x=2일 때 최댓값 9, x=-1 또는 x=5일 때 최솟값 0을 갖는다. 9+0=9 ④. yy ㉠. . kÉ-1. 3k>-4. k>-;3$;. x`m. yy ➌. Ú~Ü 에서 조건을 만족하는 실수 k의 값의 범위는. x`m. x`m. -;3$;0에서 135 2. 단계. yy ㉡. 두 구역의 넓이의 합을 y`mÛ`라 하면 y=(x+270-4x)x. yy ➋. x=1이므로 조건을 만족시킨다.. 직사각형 구역의 가로의 길이는. x<. yy ➊. Ü f(x)=xÛ`-2x+3k+4=(x-1)Û`+3k+3에서 대칭축이. 구역의 한 변의. 길이를 x`m라 하면 x>0. D =1-(3k+4)¾0, 3kÉ-3 4. Û f(2)>0에서 4-4+3k+4>0. 따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은. 14 정사각형. =(270-3x)x . 채점 기준. 비율. ➊. 판별식을 만족시키는 조건을 구한 경우. 30`%. ➋. f(2)>0을 만족시키는 조건을 구한 경우. 30`%. ➌. 대칭축 조건을 구한 경우. 30`%. ➍. k의 값의 범위를 구한 경우. 10`%. =-3xÛ`+270x =-3(x-45)Û`+3_45Û` 따라서 ㉠, ㉡의 조건을 만족하는 x의 값에 대하여 두 개의 구 역의 넓이의 합은 x=45일 때 최댓값을 가지므로 구하는 정사 각형 구역의 한 변의 길이는 45`m이다.  45`m. 02 f(x)=-xÛ`+2kx-3k =-(x-k)Û`+kÛ`-3k. yy ➊. Ú k<-3일 때. -3ÉxÉ3에서 이차함수 f(x)=-xÛ`+2kx-3k의 최댓 값은 f(-3)이므로. 서술형. 연습장. 01 -;3$;0)라 하면 점 B’의 x좌표는. 비율. -2a이다.. ➊. f(x)의 식을 변형한 경우. 10`%. 4-2xÛ`=kx에서 이차방정식 2xÛ`+kx-4=0은 근과 계수의. ➋. k<-3일 때 조건을 만족하는 k의 값이 존재 하지 않음을 안 경우. 20`%. ➌. -3Ék<3일 때 k의 값을 구한 경우. 30`%. ➍. k¾3일 때 k의 값을 구한 경우. 30`%. ➎. k의 값을 구한 경우. 10`%. 단계. 채점 기준. 관계에 의하여 a_(-2a)=. -4 =-2, -2aÛ`=-2이므로 a=1 2. a+(-2a)=-;2K;, -1=-;2K; 따라서 k=2 ④. 03 그림과 같이 천막을 삼각형. A. A B C라 하고, 출입문을 직사각형 6 m. DEFG라 하자. 변 EF의 중점을 M, . EÕM= Ó MFÓ=x m, . 60ù. D. G y`m. B E x`m x`m F M. DEÓ=y m라 하면. C. BEÓ=(3-x)`m이고 tan`60ù=13 이므로. . =à. xÛ`-3x-4. (xÉ-1 또는 x¾4). -xÛ`+3x+4 (-1

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