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삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

삼각함수의 그래프

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삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소 – 수학방

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삼각함수 그래프의 이동 평행이동 주기 최대 최소

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7장 - 삼각함수 : 삼각함수의 그래프 : 네이버 블로그 — 7장 – 삼각함수 : 삼각함수의 그래프 : 네이버 블로그

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삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소

삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x – p)2 + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요. y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, - 에요. sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요. 이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠. y = sinx와 y = asinx의 그래프 비교 y = sinx y = asinx 주기 2 π 2 π 최댓값 1 |a| 최솟값 -1 -|a| 이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠. y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠. 그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요. x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다. y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교 y = sinx y = sin(bx) 주기 2 π 최댓값 1 1 최솟값 -1 -1 이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠. 이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)2은 y = ax2의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠. 그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요? y = sin(x + c) y = sin{x - (-c)} x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요. y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q의 그래프를 생각해보세요. y = ax+ q의 그래프는 y = ax의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프에요. 같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요. 이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요. y = sinx의 그래프와 y = sin(x + c)의 그래프, y = sinx + d 비교 y = sinx y = sin(x + c) y = sinx + d 주기 2 π 2 π 2 π 최댓값 1 1 1 + d 최솟값 -1 -1 -1 + d 위 내용을 한 번에 정리해보죠. y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠. y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교 y = sinx y = asin(bx + c) + d 주기 2 π 최댓값 1 |a| + d 최솟값 -1 -|a| + d a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다. y = cosx 그래프의 이동 y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요. y = tanx의 그래프의 이동 하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다. y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠. a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요. b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요. c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요. d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요. 삼각함수 그래프의 이동 y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d y = atan(bx + c) + d 최댓값 |a| + d 없음 최솟값 -|a| + d 없음 주기 점근선 없음. (n은 정수) 위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요. 함께 보면 좋은 글 삼각함수 그래프 그리는 법 - sin 그래프, 주기함수 삼각함수의 그래프 - cos 그래프 삼각함수의 그래프 - tan 그래프 그리드형(광고전용)

7장 – 삼각함수 : 삼각함수의 그래프

저번에는 y=sinx, y=cosx, y=tanx의 그래프를 그렸는데 좀 더 자세하게 삼각함수의 그래프를 파해쳐 보려고 합니다.

<복습>

다 기억나시죠?

위의 세가지 그래프는 기본이므로 반드시 머리속에 입력해 놓아야 합니다.

ⓐ / y=sin(-x)

sin전체에 -가 붙어있는 형태인데

이것은 어떤 형태로 그려질까?

대칭이동이라는 것은 안느껴지십니까? 양 변에 -1을 곱하면 -y=sinx이 됩니다.

x축 대칭인게 보이십니까? y의 부호를 바꾸면 x축대칭이동이고, x의 부호를 바꾸는게 y축대칭이잖아요? (대칭하고자 하는 상대방의 부호를 바꾸는것이죠)

즉, y=-sinx는 y=sinx를 x축대칭해서 만든 그래프이므로 아래와 같은 그래프가 나오겠지요.

또…

y=sin(-x)의 그래프는 y축대칭이므로 y축으로 대칭한 그래프가 나올텐데

재미있게도 y축 대칭과 똑같은 그래프가 나옵니다. 음각공식을 통해서도 증명할 수 있지요.

→ y = sin(-x) = – sinx

y=-sinx / y=sin(-x)

⇒ y축 대칭이동하거나 x축 대칭이동한 싸인그래프의 최댓값, 최솟값, 주기는 변하지 않는다.

ⓑ

x의 계수에 실수배가 되어있는 패턴이죠.

이럴 땐 그래프가 어떻게 달라질까요?

먼저 이 그래프를 우리가 그려야 하는것은

0도에서 360도까지 정의역의 구간을 90도 간격으로 만드는 일입니당

밑그림도 그렸으니 이제 생각해봅시다.

정의역이 0˚에서 360˚(0 ~ 2π)만 생각해서 그래프를 그리려고 합니다.

y=sin2x에서 x이 범위를 0˚에서 360˚까지만 생각해서 그려넣어야 하는데

x가 0이면 y=sin2x는 y=sin0이 될 것이고

x가 90˚라면 y=sin2x는 y=sin180˚가 될 것이고

x가 180˚라면 y=sin2x는 y=sin360˚가 될 것이고

x가 360˚라면 y=sin2x는 y=sin720˚가 될 것이죠.

제가 무슨 말을 하려고 하는지 감이 오시나요?

모르겠지요?

x가 360˚라면 y=sinx는 y=sin360˚가 되겠지만 y=sin2x에서는 y=sin720˚가 되어버립니다.

조금 다르게 생각해볼까요?

x가 0입니다. 조금씩 조금씩 키워서 360˚까지 계속 늘릴겁니다.

x를 0에서 360˚까지 올릴 때, y=sinx에서는 y=sin0˚에서 y=sin360˚까지 똑같이 조금씩 올라갈 거에요.

그런데 x를 0에서 360˚까지 조금씩 계속 올릴 때, y=sin2x는 x가 상승하는 속도의 2배만큼 빠르게 올라갑니다. 맞나요?

x가 0에서 180도까지 올라가면 y=sin2x는 y=sin0에서 y=sin360˚까지 변화합니다.

그리고 x가 360도까지 올라가면 y=sin2x는 y=sin720˚까지 올라가지요. 두 배 빠르게 올라가지요. 맞죠?

즉, x가 0부터 360˚까지 움직일 때, y=sinx는 y=sin0에서 y=sin360˚까지 그려지지만

y=sin2x는 sin0에서 sin360˚는 물론, sin360˚에서 sin720˚까지의 그래프도 그려진다는 의미입니다.

y=sin2x의 그래프를 정리하면

① x가 0˚에서 180˚까지는 sin0 ~ sin360˚가 그려지고

② x가 180˚에서 360˚까지는 sin360˚ ~ sin720˚가 그려진다는 의미입니다.

모든 각은 360가 빼거나 더해도 값은 같으므로 sin360˚~sin720˚ = sin0~sin360˚이므로

결국 sin0~sin360˚의 그래프가 x값들만 축소되서 2개를 그려주면 됩니다.

또한 여기서 주기가 2배로 줄어드는 것을 보실 수 있는데

이 현상은 sin의 그래프가 2배로 빠르게 그려지면서 생기는 현상입니다.

즉, sinx는 x가 0도에서 360도로 움직일 때 (sinx는 sin0부터 sin360˚까지 움직이지만),

y=sin2x에서는 2라는 계수 때문에 x가 0도에서 180도만 움직여도 sin0에서 sin360˚까지 두 배 빠르게 나타내 버리므로

주기도 2배로 줄어든다는 소리입니다. (y=sin2x의 주기는 원래주기의 2π에서 x의 계수인 2를 나눠야 하므로 π가 됩니다.)

( 그러나 최댓값과 최솟값은 변화하지 않습니다. )

는 x가 0에서 증가할수록 2배로 빠르게 증가하므로 sin값또한 2배 빠르게 그려진다. 정리 :는 x가 0에서 증가할수록 2배로 빠르게 증가하므로 sin값또한 2배 빠르게 그려진다.

또, 그러한 성질 때문에 주기는 2배로 줄어들게 됩니다.

이면 이면

최댓값 : 1

최솟값 : -1

주기 :

(분모에 절대값을 넣는 이유는 주기는 항상 양수여야 하는데 a가 음수도 될 수 있으므로 절대값을 넣은 것입니다.

x의 계수인a가 음수라는 의미는 y축대칭인데 최댓값, 최솟값, 주기에 아무런 영향을 미치지 못하지요.)

→ y=sin3x

(120˚)의 주기로 싸인 그래프를 그려주면 된다. y=sinx보다 3배 빠르게 그리면 된다. = 주기를 이용하여 2π(원래주기)를 3(x의 계수)으로 나눈(120˚)의 주기로 싸인 그래프를 그려주면 된다.

= 0~360˚까지 싸인 그래프를 3개 채워 넣으면 됩니다!

최댓값 : 1

최솟값 : -1

(120˚) 주기 :(120˚)

y = sinax

⇒ x에 붙어있는 계수는 최댓값, 최솟값에는 영향을 주지 않지만 주기를 변화시킨다.

ⓒ

sin전체에 실수배가 되어있는 패턴입니다.

역시 밑그림을 그려야 합니다. 0에서 360˚까지 90도씩 끊어져 있게 그립시다.(정의역이 0에서 360˚까지만 구할 것입니다.)

그런데 y=2sinx에서 0에서 360˚까지의 정의역만 생각할 것인데, sin전체에 2를 곱했으므로

sin의 모든 지점에서 y값이 2배만큼 늘어나게 됩니다.

즉, sinx의 최댓값 최댓값인 1과 -1이 두배만큼 각각 늘어나므로 2sinx는 최댓값이 2, 최솟값이 -2가 됩니다.

그래프를 그리면 아래와 같이 sinx를 위아래로 잡아당긴 그래프와 같이 되겠지요.

또 한가지 더 생각해야 할 것이..

인데 앞에 붙은 상수가 양수뿐만 아니라 음수가 올 수 있습니다. 인데 앞에 붙은 상수가 양수뿐만 아니라 음수가 올 수 있습니다.

y=-3sinx처럼요.

이럴때의 -는 역시 x축 대칭입니다.

x축대칭은 최댓값, 최솟값, 주기에 아무런 영향도 주지 않으므로

y=3sinx에서의 최댓값, 최솟값, 주기를 구하는 것처럼 구하면 됩니다.

각각 3, -3, 2π가 되죠.

그런데 만약 y=asinx의 최댓값 최솟값을 구하라고 한다면

최댓값 : a, 최솟값 : -a

이렇게 쓰고 넘어간다면 틀려버립니다.

왜냐하면 a가 음수일 수도 있기 때문에 최댓값이 음수가 되고 최솟값이 양수가 되는 것은 말도 안되기 때문입니다.

따라서 이럴 때는 절대값을 활용해서, 최댓값 : | a |, 최솟값 – | a |

이렇게 쓰면 됩니다!!

→ y=3sinx

위아래로 3배 늘린 그래프가 된다.

y = asinx

⇒ 싸인 전체에 붙어있는 상수는 주기를 변화시키지 않지만, 최댓값, 최솟값을 변화시킨다.

최댓값 : |a|

최솟값 : -|a|

ⓓ

만큼 평행이동한 함수입니다. 이것은 딱 봐도 y=sinx를 x축 방향으로만큼 평행이동한 함수입니다.

기억나시죠?

x방향으로 a만큼 평행이동이라면 함수식에서 x가 x-a로 변화합니다.

또, y방향으로 b만큼 평행이동해도 y가 y-b로 변하지요.

만큼 평행이동하면 빨간색 그래프가 됩니다. 왼쪽의 sinx를만큼 평행이동하면 빨간색 그래프가 됩니다.

이 평행이동된 그래프를 그릴 때는

왼쪽의 그림에서처럼 미련하게

sinx그래프를 그린다음 진짜 옮겨서 그리지 마시고

처음부터

각 구간에 평행이동된 만큼 보조선을 그려주시고

거기에 맞춰서 그래프를 끼워서 그려주면 편합니다.

그런데 얼마만큼 평행이동했는지 알려면 x뒤에 달려있는 상수항만 보면 된다고 착각하는 사람이 있어요.

예를 들어, y=-sin(2x-π)의 그래프는 y=-sin2x를 π만큼 평행이동한 것이라고 생각해버리면 안되거든요.

x의 계수가 1이라면 바로 뒤에 있는 상수항만큼 평행이동이 맞지만 계수가 1이 아니라면 달라진답니다.

y=-sin(2x-π)라는 삼각함수가 y=-sin2x가 평행이동했다는 사실은 알 수 있지요?

로 변형하면 보기 쉽습니다. (x의 계수로 나눠준다는 표현이 더 와닿지요.) 이럴때는 y=-sin(2x-π)에서 (2x-π)를 2로 끌어내어로 변형하면 보기 쉽습니다. (x의 계수로 나눠준다는 표현이 더 와닿지요.)

만큼 평행이동했다는 것을 유의시길 바랍니다. 해깔리는 사람이 많습니다. 유의하세요!! 따라서 y=-sin(2x-π)는 y=-sinx을 x방향으로 π만큼이 아닌,만큼 평행이동했다는 것을 유의시길 바랍니다. 해깔리는 사람이 많습니다. 유의하세요!!

x축 평행이동 ( y=sin(x+a) )

⇒ 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않는다.

ⓔ

이 패턴도 평행이동입니다. 얼마큼 평행이동된 함수일까요?

상수항 1을 좌변으로 이항하여

(y-1) = sinx라고 놓으면

y=sinx이 y축방향으로 1만큼 평행이동한 함수라는 것을 금방 아실겁니다.

그림으로 그리면 y=sinx가 위쪽으로 한칸 올라간 그래프가 되겠지요.

그로인해서 최댓값, 최솟값도 1씩 증가하는 그래프가 나옵니다. 주기는 변하지 않고요.

최댓값 : 2

최솟값 : 0

주기 : 2π

y = sinx + a

⇒ 최댓값, 최솟값에 영향을 준다.

최댓값 = 1+ a

최솟값 = -1 + a

이제 다 배웠습니다. 정리할게요.

: 주기 를 변화시킴 를 변화시킴

: 최댓값, 최솟값 을 변화시킴 을 변화시킴

: 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않음

: 최댓값, 최솟값, 주기에 영향을 주지 않음

: 최댓값, 최솟값 을 변화시킴 을 변화시킴

짬뽕해서 정리해볼까요 ㅋ

한가지 팁은 최댓값 최솟값에서 d는 제일 나중에 추가해주는게 좋습니다.

이해가시나요? 주기에 영향을 주는 것은 x의 계수이고,

최댓값, 최솟값에 영향을 주는것은 싸인전체에 곱해져있는 상수와 전체에 더해진 상수입니다.

이것은 그래프를 굳이 그려보지도 않고도 나올 수 있어야 합니다.

이해는 되시잖아요? 왜그런지 다 이해하고 넘어갔으면

쉽게, 저절로 외워질겁니다. 논리로 외우셔야하지 왜그런지도 모르고 암기만 하시면 절대 안됩니다!

예제 (드래그하면 최댓값과 최솟값, 주기가 나옵니다.)

(각은 라디안으로 표기해주세요.)

1)

최댓값 : 2

최솟값 : -2

주기 : 2π/3 (3분의 2파이)

2)

최댓값 : |a|

최솟값 : -|a|

주기 : 2π/3 (3분의 2파이)

3)

최댓값 : 0

최솟값 : -4

주기 : 2π/3 (3분의 2파이)

하나 더 설명하도록 하겠습니다.

문제와 관련된 설명인데요

아래의 문제가 있다고 한다면 어떻게 푸시겠습니까?

y=-2sin²x+sinx+1의 최댓값, 최솟값을 구하시오.

치환해야 합니다. 이 상태로는 구할 수 없습니다.

sinx를 t로 치환하면 y는 t에 관한 식으로 바뀝니다.

그런데 치환할 때, 반드시 치환하는 문자의 범위를 반드시 써줘야 하는데

sinx는 최솟값이 -1이고 최댓값이 1

sinx는 항상 -1보다 크거나 같은 값을 가지고 1보다 같은 값을 가집니다. (-1≤sinx≤1)

sinx = t로 치환하자. (-1≤t≤1)

그러면 y=-2sin²x+sinx+1라는 식은 y=-2t²+t+1이라는 식으로 바뀝니다.

그래프를 그리면 최고차항의 수는 음수이므로 아래와 같이 그리면 됩니다. (초간단하게 그립시다. x축, y축은 생략)

여기서 꼭지점의 x좌표는 구할 수 있지요? ax²+bx+c라면 -2a분의 b입니다.

이므로 ¼이 됩니다. y=-2t²+t+1는 x가 아니라 t에 관한 식이므로, 꼭지점의 t좌표는…이므로 ¼이 됩니다.

그런데 t의 범위가 (-1≤t≤1)이므로 범위에 맞는 그래프만 남겨두면 아래와 유사한 그래프가 남습니다.

(¼는 -1과는 좀 더 멀고 1과 더 가까우므로 아래와 같은 그래프가 나옵니다.)

위의 그래프에서 최댓값은 t가 ¼일 때의 y값이고, 최솟값은 t가 -1일 때의 y값이지요.

y=-2t²+t+1의 t에 각각 ¼과 -1을 대입해 최댓값과 최솟값을 구하면 됩니다.

열심히 풀어보세요~

아래의 문제는 어떻게 풀까요?

y=sin²x+2cosx-1

어렵나요?

sin²x을 cos²x로 바꿀 수 있다면 쉬운 문제가 되겠죠?

sin²x + cos²x =1을 sin²x = 1 – cos²x로 바꾸면 됩니다!!

즉, y=sin²x+2cosx-1은 y=-cos²x+2cosx의 문제로 바뀌게 됩니다.

이것역시 치환으로 열심히 푸시면 됩니다~

정리

(x의 구간이 주어지는 경우에는! tan의 최댓값과 최솟값은 구할 수 있어야 한다.)

# 아래와 같은 경우의 문제는

y=-2sin²x+sinx+1

치환하여 풀어야합니다. 치환할 때, 범위를 잘 세우셔서 푸시길 바랍니다.

# 싸인제곱이나 코싸인제곱은 서로 바꿀수 있으니 이 점도 알고 계셔야 합니다.

[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제)

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| y= sinx의 그래프 (사인함수)
[정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징

사인함수 y=sinx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : 실수 전체의 집합

– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }

2. 주기가 2π

sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수)

3. 원점에 대하여 대칭

sin(x) = -sin(-x)

먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다.

원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다.

| y= cosx의 그래프 (코사인함수)
[정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징

코사인함수 y=cosx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : 실수 전체의 집합

– 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 }

2. 주기가 2π

cos(x) = cos(2nπ+x) (단 n은 정수)

3. y축에 대하여 대칭

cos(x) = cos(-x)

4. y=sinx를 x축의 방향으로 -π/2만큼 이동하면 y=cosx와 겹쳐짐

sin(x-π/2)=cosx

코사인함수는 사인함수를 x축의 방향으로 평행이동한 함수로, 정의역과 치역, 주기가 사인함수와 서로 같습니다.

다만, y=cosx는 (0,1), (π/2, 0), (π,-1),(3π/2,0)을 지납니다.

| y= tanx의 그래프 (탄젠트함수)
[정리] 탄젠트함수 (y=tanx)의 특징

탄젠트함수 y=tanx

1. 정의역과 치역

– 정의역 : { x | x≠nπ+π/2인 모든 실수 (단, n은 정수) }

– 치역 : 실수 전체의 집합

2. 주기가 π

tan(x) = tan(nπ+x) (단 n은 정수)

3. 원점에 대하여 대칭

tan(x) = -tan(-x)

4. x=nπ+π/2를 점근선으로 가짐 (단, n은 정수)

탄젠트함수는 사인함수를 코사인함수로 나눈 값으로, 앞서 살펴본 두 함수와 다르게 주기가 π입니다.

그리고 정의역이 모든 실수가 아니며 오히려 치역이 모든 실수라는 특징을 가지고 있습니다.

탄젠트함수는 (0,0) (π/4, 1), (π/3,√3)등을

지납니다.

| 삼각함수의 응용형 y=asinbx+c꼴

삼각함수 y=asinbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.

2. 주기는 2π/b

삼각함수 y=acosbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 최댓값을 |a|+c, 최솟값을 -|a|+c로 갖습니다.

2. 주기는 2π/b

삼각함수 y=atanbx+c는 다음과 같은 특징을 가집니다.

1. 점근선은 x= (nπ+π/2)/b

2. 주기는 π/b

| 학습지 미리보기

| 첨부파일

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| 닫는 말

이번 학습지는 한 장에 다섯 문제로, 왼쪽에는 주기,치역,점근선을 써보고, 오른쪽에는 그래프를 그려볼 수 있습니다.

정답은 주기/치역/점근선만 제공하며, 그래프는 제공하지 않는다는 점 양해바랍니다.

감사합니다.

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