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스튜어트 미분 적분학 한글 pdf
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[학습자료]미적분학, Thomas / 11판 한글번역본 pdf – 아이티치포유[교사수업연구모임] – 학습자료실(초등학교,중학교,고등학교,대학교,공무원,임용,자격증)
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James Stewart 지음 수학교재편찬위원회 옮김 ESSENTIAL CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS Metric
James Stewart 지음 수학교재편찬위원회 옮김
ESSENTIAL CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS
Metric Version 2nd edition
제2판
다변수 함수와 벡터 해석
미분적분학IIIII
2권 앞대(1~4).indd 1 2014-01-02 오후 2:31:
© 2014 Cengage Learning Korea Ltd. Original edition © 2013 Brooks Cole, a part of Cengage Learning. Essential Calculus: Early Transcendentals, International Metric Edition 2nd Edition by James Stewart ISBN: 9781133492573 This edition is translated by license from Brooks Cole, a part of Cengage Learning, for sale in Korea only. ALL RIGHTS RESERVED. No part of this work covered by the copyright herein may be reproduced, transmitted, stored or used in any form or by any means graphic, electronic, or mechanical, including but not limited to photocopying, recording, scanning, digitalizing, taping, Web distribution, information networks, or information storage and retrieval systems, without the prior written permission of the publisher.
ISBN-13: 979-11-251-0002- Cengage Learning Korea Ltd. Suite 1801 Seokyo Tower Building 133 Yanghwa-Ro, Mapo-Gu Seoul 121-837 Korea Tel: (82) 2 322 4926 Fax: (82) 2 322 4927 Cengage Learning is a leading provider of customized learning solutions with office locations around the globe, including Singapore, the United Kingdom, Australia, Mexico, Brazil, and Japan. Locate your local office at: cengage/global Cengage Learning products are represented in Canada by Nelson Education, Ltd. For product information, visit cengageasia
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Essential Calculus: Early Transcendentals 2 nd Edition James Stewart
Printed in Korea 1 2 3 4 17 16 15 14
2권 앞대(1~4).indd 4 2014-01-02 오후 2:31:
v –
지은이 머리말
이 <미터법 국제판>은 ≪Essential Calculus: Early Transcendentals, 제2 판≫의 정규본과 몇 가지 점에서 차이가 난다. 거의 모든 보기와 익힘 문제에서 아메리카 합중국 관례 단위(US Customary units)를 미터법 단위 로 바꿨다. 아주 적은 예외는 있다. 몇 가지 공학 응용에서 (주로 7 절에서) 일부 공학도에게는 아메 리카 관례 단위에 익숙해지는 것이 유용할 수 있을 것이다. 그리고 (야구와 관련된 보기와 같이) 미터 법 단위가 부적절한 몇 개의 익힘 문제에서는 아메리카 관례 단위를 유지했다. 실세계 자료와 관련된 보기와 익힘 문제들은 더욱 국제적인 자료를 사용해서 자연스럽게 바꿨다. 이에 따라 그런 대다수의 문제에서 자료는 아메리카가 아닌 다른 나라에서 나왔다. 예를 들면, 다른 많은 나라의 예가 있지만 홍콩 우편 요금, 캐나다 국채, 오스트레일리아의 실업률, 터키 앙카라의 일 조 시간, 아르헨티나 지방의 인구 비율, 말레이시아ᆞ인도네시아ᆞ멕시코ᆞ인도 등 네 나라의 인구, 온타리오의 전력 소비 등이 있다. 미터법 단위를 사용하고 더욱 국제적인 자료를 사용해서 문제를 바꾸었을 뿐만 아니라, 많은 문제도 바꿨다. 이에 따라 약 10%의 익힘 문제가 정규본과 다르다. (제 1 판과는 약 40%의 익힘 문제가 다르다.)
이 책의 집필 철학
이 책은 미분 적분학 교과서가 지나치게 크다고 생각하는 교수들의 요구에 부응하기 위해 썼다. 이 책을 쓰면서 스스로에게 물었다. 어떤 내용이 자연 과학도와 공학도를 위한 세 학기 미분 적분학 과 정에서 필수적인가? 이 책의 분량은 본인이 쓴 다른 미분 적분학 책(Calculus 제7판, 미터법 국제판, Calculus, Early Transcendentals 제 7 판, 미터법 국제판)의 분량의 약 3분의 2이다. 그렇지만 이 책에는 똑같은 주제가 거 의 모두 포함되어 있다. 상대적으로 간결하게 된 이유는 주로 설명을 간략하게 하고 그림 중 일부를 웹사 이트
으로 옮겼기 때문이다. 책의 분량을 줄인 방법을 좀 더 자세하게 설 명하면 다음과 같다. ▪ 주제들을 효율적인 방법으로 조직했고, 일부 절은 더욱 간략하게 설명했다. ▪ 공간을 절약하도록 디자인했다. 특히, 각 장에서 시작 부분의 여백과 사진을 제거했다. ▪ 보기의 개수를 조금 줄였다. 추가적인 보기는 온라인으로 제공한다.
vii –
▪ 새로운 보기를 추가했다. (예를 들어 791쪽의 보기 4를 보라.) 그리고 기존의 보기 중에서 일부
에 대한 풀이는 더 자세히 서술했다. 딱 들어맞는 사례로, 보기 1.4를 더 자세히 서술했다. 제
1 판으로 1 절을 가르치면서 학생들이 조임 정리(샌드위치 정리)를 위한 부등식을 설정할 때
더 많은 지도가 필요함을 알게 됐다.
▪ 보기와 익힘 문제의 자료를 좀 더 최근의 것으로 바꿨다.
▪ 여백의 역사적인 주석을 몇 가지 더 추가했다.
▪ 익힘 문제 중에서 약 40%는 새로운 것이다. 본인이 특히 좋아하는 문제 몇 개는 다음과 같다.
1.6, 2.2 14, 2.5, 2.6 40, 3.2, 4.3, 5.3 45 , 7.6, 8.2 30,
8.7 68, 10.1, 10.4 44.
▪ Tools for Enriching Calculus(TEC)에서 동영상을 완전히 새롭게 설계했는데, Enhanced WebAssign 과 CourseMate에서 이용할 수 있다.
내 용
진단 평가 ∎ 이 책은 기초 대수학, 해석 기하학, 함수, 삼각법 등 네 분야 각각에 관한 진단 평가로 시작한다. 제 1 장 함수와 극한 ∎ 기본적인 함수들을 간략하게 다시 알아본 뒤에, 극한과 연속의 개념을 도입한 다. 여기에는 삼각 함수의 극한과 무한대와 관련된 극한 및 극한에 대한 명확한 정의도 포함된다. 제 2 장 도함수 ∎ 도함수에 관한 내용을 두 절에서 다루어, 학생들에게 함수로서의 도함수 개념에 익 숙해질 수 있는 시간을 주었다. 사인 함수와 코사인 함수의 도함수에 대한 공식은 기본적인 미분 공식에 관한 절에서 유도한다. 익힘 문제에서는 다양한 상황에서 도함수의 의미를 탐구한다. 제 3 장 역함수 : 지수.로그.역삼각 함수 ∎ 지수 함수를 먼저 정의하고, 수 를 극한으로 정의한다. 다 음에 로그 함수를 지수 함수의 역함수로 정의한다. 지수적 증가와 감소에 관한 활용이 뒤따른다. 역삼각 함수와 쌍곡선 함수도 여기서 다룬다. 로피탈의 법칙이 이 장에 포함되는데, 초월 함수의 극한을 찾을 때 이것이 매우 자주 필요하기 때문이다. 제 4 장 미분의 활용 ∎ 극값과 곡선의 모양에 관한 기초적인 사실들을 평균값 정리로부터 유도한다. 곡선 그리기에 관한 절에서는 공학 기술 도구로 그래프를 그리는 방법도 간략히 다룬다. 최적화 문 제에 관한 절에서는 경영과 경제에의 활용을 간략하게 논의한다. 제 5 장 적분 ∎ 넓이 문제와 거리 문제는 정 적분을 정의하는 동기로 삼고, 필요에 따라 합의 기호를 도입한다. (합의 기호는 부록 B에서 완전히 다룬다.) (길이가 같지 않은 부분 구간을 이용한) 아주 일반적인 정 적분의 정의를 먼저 제시하고, 정규 분할을 이용한다. 다양한 상황에서 적분의 뜻에 대한 설명 및 그래프와 표로부터 그 값을 어림하는 방법을 강조한다. 제 6 장 적분의 기법 ∎ 표준적인 모든 방법을 다루며, 컴퓨터 대수 체계, 수치적 방법, 특이 적분도 함께 알아본다. 제 7 장 적분의 활용 ∎ 일반적인 방법들을 강조한다. 목표는 학생들이 수량을 작은 조각으로 나누고 리만 합을 어림하며 그 극한을 적분으로 인식할 수 있게 하는 것이다. 이 장은 미분 방정식의 도입 으로 끝을 맺는데, 분리 가능한 방정식과 방향 마당이 포함된다.
viii –
제 8 장 급수 ∎ 수렴 판정법들을 직관적으로 정당화하고, 이와 함께 형식적으로 증명한다. 테일러 급
수와 다항 함수 및 물리학에의 활용을 강조한다. 오차 분석은 (라그랑주의 나머지 항이 있는) 테일
러 공식과 그래프 그리기 장치에 근거해서 알아본다.
제 9 장 매개 방정식과 극 좌표 ∎ 이 장에서는 매개 곡선과 극 곡선을 도입하고, 이에 미분 적분학의
방법을 적용한다. 극 좌표로 원뿔 곡선을 간략하게 다루는데, 이는 제 10 장에서 케플러의 법칙을
설명하는 방법을 제공한다.
제 10 장 벡터와 공간 기하학 ∎ 이 장에서는 벡터, 내적과 외적, 직선, 평면, 곡면에 관한 내용과 함께,
벡터 값 함수, 공간 곡선의 길이와 곡률, 공간 곡선을 따른 속도와 가속도를 다루며, 케플러의 법칙
으로 끝을 맺는다.
제 11 장 편도함수 ∎ 많은 학생이 이 장의 개념들을 머릿속으로 그리는 데 어려움을 겪기 때문에, 그
래프, 등고선 지도, 방향 도함수, 물매 벡터, 라그랑주 곱수와 같은 개념을 설명할 때 사실적인 그림
들을 특별히 강조해서 넣었다.
제 12 장 다중 적분 ∎ 원기둥 좌표와 구면 좌표를 삼중 적분의 값을 찾는 상황에서 도입한다.
제 13 장 벡터 해석 ∎ 선 적분의 기본 정리, 그린의 정리, 스토크스의 정리, 발산 정리 사이의 유사성
을 강조한다.
웹사이트
웹사이트
에는 다음과 같은 내용이 포함되어 있다. ▪ 대수학, 삼각법, 해석 기하학, 원뿔 곡선 복습 Algebra, Trigonometry, Analytic Geometry, Conic Sections ▪ 과제 귀띔 Homework Hints ▪ 추가적인 보기 Additional Examples ▪ 프로젝트 과제 Projects ▪ 학력 평가 문제(본인이 쓴 다른 책들의 이전 판에 있던 익힘 문제)와 그 풀이 Achieved Problems ▪ 도전 문제 Challenge Problems ▪ 계산기와 컴퓨터 Lie My Computer and Computer Told Me ▪ 추가적인 주제(익힘 문제 포함): 문제 해결 원리, 적분 전략, 급수 판정 전략, 푸리에 급수, 선형 미분 방정식, 이계 선형 미분 방정식, 비동차 선형 방정식, 이계 미분 방정식의 활용, 급수를 이 용한 미분 방정식의 풀이, 복소수, 축의 회전 Additional Topics ▪ 특별한 주제를 위한 외부 웹사이트로의 접속 ▪ 수학의 역사 및 더 좋은 역사 웹사이트로의 접속 History of Mathematics ▪ 제2장과 5장을 TEC 동영상 x –
제 1 판을 가르치고 여러 가지 제안을 해준 Jim Propp(University of Massachusetts-Lowell)에게 도 감사드린다. 더불어, 제작을 담당한 Kathi Townes와 Stephanie Kuhns 및 다음 Brooks/Cole 직원들에게 감사 드린다. Cheryll Linthicum(editorial content project manager), Vernon Boes(art director), Gorden Lee와 Ryan Ahern(marketing team), Maureen Ross(media editor), Carolyn Lewis(developmental editor), Elizabeth Neustaetter(assistant editor), Stephanie Kreuz(editorial assistant), Roberta Broyer(rights acquisitions specialist), Becky Cross(manufacturing planner), Denise Davidson(cover designer). 이 모두는 자기의 임무를 훌륭하게 수행했다. 이 책은 편집자 Bob Pirtle의 발상인데, 그는 수많은 교수로부터 분량이 훨씬 더 적은 미분 적분학 교과서를 원한다는 말을 들었다. 이런 발상을 제 2 판에서 유지하고 지지한 현 편집자 Liz Covello에 게 감사드린다. 제임스 스튜어트(James Stewart)
xi –
옮긴이 머리말
이 책은 제임스 스튜어트(James Stewart)의 Essential Calculus Early Transcendentals, 2nd edition(미터법 국제판)을 다음과 같은 점을 염두에 두고 본문은 물론 문제까지 빠짐없이 번역했다.
가능한 한 우리나라 중ᆞ고등학교 교육과정과 교과서의 용어와 기호를 따랐다. 이를테면 ‘extreme value theorem’을 ‘최대ᆞ최소 정리’로 번역했고, 함수의 정의역을 ( ) 안에 넣어 나타냈다. 또, 원서에서는 여러 가지 괄호가 포함된 식에서 소괄호 ( ) 다음에 대괄호 [ ]를 사용했는데, 여기 서는 우리의 관례에 따라 이런 경우의 대괄호는 중괄호 { }로 바꿨다. 다만, 선분은 원서와 같이 로 나타냈는데, 이는 벡터의 크기를 나타내는 기호 등과 통일시키기 위함이다.
2. 용어는 ≪대학수학회 용어집≫ 등을 참고하면서 우리말이 있는 경우에는 적극적으로 이를 반영
했다. 이를테면 ‘astroid’를 통상적인 표현 ‘성망형’ ‘성형선’ ‘아스트로이드’ 등이 아니라 여기서 는 쉽게 알 수 있도록 ‘별모양선’으로 번역했다. 또, ‘be bounded’는 ‘유계이다’라는 표현보다는 ‘갇혀있다’고 했다.
긴 용어의 경우에는 한글맞춤법에 따라 그리고 이해를 돕기 위해 가능한 한 단어별로 띄어 써서, ‘좌표 평면’ ‘부정 적분’ ‘직교 좌표’ 등과 같이 나타냈다. 한 음절 단어도 통일적인 표현을 위해 ‘정 적분’ ‘선 적분’ ‘극 좌표’ 등과 같이 띄어 쓴 경우가 많이 있다. 원서에서와 같이 기호 는 그래프 계산기나 그래프 그리기 소프트웨어가 있는 컴퓨터를 반드시 사용해야 하는 익힘 문제를 가리킨다. 기호 는 Derive, Maple, Mathematica, TI-89/92 등 과 같은 컴퓨터 대수 체계(computer algebra system)를 사용할 필요가 있는 문제를 가리킨다. 기호 도 접하게 되는데, 이는 오류를 범할 수 있는 상황을 경고하기 위함이다.
옮긴이
xiii –
차 례
I권
1 함수와 극한
1 함수와 그 표현 / 1 필수적인 함수 목록 / 1 함수의 극한 / 1 극한 셈 / 1 연속 / 1 무한대와 관련된 극한
2 도함수
2 미분 계수와 변화율 / 2 도함수 / 2 기본적인 미분법 / 2 곱과 몫의 미분 법 / 2 연쇄 법칙 / 2 음함수의 미분법 / 2 서로 관련된 변화율 / 2 선형 근사와 미분
3 역함수: 지수.로그.역삼각 함수
3 지수 함수 / 3 역함수와 로그 / 3 로그 함수와 지수 함수의 도함수 / 3.
지수적 증가와 감소 / 3 역삼각 함수 / 3 쌍곡선 함수 / 3 부정형과 로피탈의
법칙
4 미분의 활용
4 최댓값과 최솟값 / 4 평균값 정리 / 4 도함수와 그래프의 모양 / 4 곡선 그리기 / 4 최적화 문제 / 4 뉴턴의 방법 / 4 역도함수
5 적분
5 넓이와 거리 / 5 정 적분 / 5 정 적분의 값 찾기 / 5 미적분학의 기본 정 리 / 5 치환 적분법
xiv –
6 적분의 기법
6 부분 적분법 / 6 삼각 적분과 삼각 치환 / 6 부분 분수 / 6 적분표와 컴퓨
터 대수 체계 / 6 근사 적분 / 6 특이 적분
7 적분의 활용
7 곡선 사이의 넓이 / 7 부피 / 7 기둥 껍질에 의한 부피 / 7 호의 길이 / 7 회전면의 넓이 / 7 물리학과 공학에의 활용 / 7 미분 방정식
8 급수
8 수열 / 8 급수 / 8 적분 판정법과 비교 판정법 / 8 다른 수렴 판정법 / 8 거듭제곱 급수 / 8 거듭제곱 급수에 의한 함수의 표현 / 8 테일러 급수와 매 클로린 급수 / 8 테일러 다항 함수의 활용
9 매개 방정식과 극 좌표
9 매개 곡선 / 9 매개 곡선의 미분과 적분 / 9 극 좌표 / 9 극 좌표에서의
넓이와 길이 / 9 극 좌표에서의 원뿔 곡선
xvi –
2권 앞대(1~4).indd 2 2014-01-02 오후 2:31:
12 원기둥 좌표에서의 삼중 적분··········································································
12 구면 좌표에서의 삼중 적분·············································································
12 다중 적분에서의 변수 변환·············································································
12 복습···················································································································
13 벡터 해석 ∙∙∙
13 벡터 마당··········································································································
13 선 적분··············································································································
13 선 적분의 기본 정리························································································
13 그린의 정리······································································································
13 회전과 발산······································································································
13 매개 곡면과 그 넓이························································································
13 면 적분··············································································································
13 스토크스의 정리·······························································································
13 발산 정리··········································································································
13 복습···················································································································
부록 부록 ∙∙∙ A
D 증명·····················································································································A
￭ 찾아보기 / A
10
벡터와 공간 기하학
이번 장에서 삼차원 공간의 벡터와 좌표 체계를 도입한다. 이는 제11장에서 변수가 두 개인 함수를 연구하기 위한 토대인데, 이런 함수의 그래프는 공간의 곡면이기 때문이다. 이번 장에서는 벡터를 이용하면 직선과 평면 및 곡선을 매우 간단하게 나타낼 수 있음을 알아본다. CHAPTER 또, 벡터값 함수를 이용해서 공간을 통과하는 물체의 운동을 묘사한다. 특히, 케플러의 행성 운동 법칙을 유도한다.
10 삼차원 좌표 체계
그림 1 좌표축
평면에서 점의 위치를 정하기 위해서는 두 개의 수가 필요하다. 평면에 있
는 모든 점은 실수의 순서쌍 로 표현할 수 있는데, 여기서 는 좌표
이고 는 좌표이다. 이런 이유에서 평면을 이차원이라 한다. 공간에 있는
점의 위치를 정하기 위해서는 세 개의 수가 요구된다. 공간의 임의의 점은 실
수의 순서 삼조 로 표현한다.
공간에 있는 점을 표현하기 위해서, 먼저 고정된 점(원점) 를 택하고
를 지나고 서로 수직인 세 개의 유향 직선을 택한다. 이것들을 좌표축이라 하
고 축, 축 축이라 부른다. 통상, 축과 축은 수평선, 축은 연직선으
로 생각하며, 축들의 방향을 그림 1과 같이 나타낸다. 축의 방향은 그림 2
에 나타낸 바와 같이 오른손 법칙으로 결정한다. 곧, 오른손의 손가락들을
축 둘레로 양의 축부터 양의 축까지 시계 반대 방향으로 °만큼 휘감았
을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이 축의 양의 방향이다.
이 세 좌표축은 그림 3(a)에 나타낸 대로 세 개의 좌표 평면을 결정한다. 평면은 축과 축을 포함하는 평면이고, 평면은 축과 축을 포함하 는 평면이며, 평면은 축과 축을 포함하는 평면이다. 이런 세 좌표 평면 은 공간을 여덟 개의 부분으로 나누는데, 각각을 팔분 공간이라 한다. 가장 눈에 잘 띄는 위치에 있는 제 1 팔분 공간은 양의 축들로 결정된다.
(a) 좌표 평면 (b) 그림 3
평면
평면
평면
그림 2 오른손 법칙
용어 순서 삼조 ordered triple 좌표축 coordinate axe 오른손 법칙 right-hand rule 좌표 평면 coordinate plane 팔분 공간 octant
▪ 585
10 삼차원 좌표 체계 ▪ 587
￭ stewartcalculus Additional Example A를 보라.
이차원 해석 기하학에서 와 에 관한 방정식의 그래프는 ℝ의 곡선이다.
삼차원 해석 기하학에서 , , 에 관한 방정식은 ℝ의 곡면을 표현한다.
보기1 다음 방정식이 표현하는 ℝ의 곡면은 무엇인가?
(a) (b) 풀이 (a) 방정식 은 집합 을 표현하는데, 이것은 좌표가 3인 ℝ의 점 전체의 집합이다. 이 집합은 그림 7(a)에 나타낸 것과 같이 평 면에 평행이고 평면에서 3단위 위에 있는 수평 평면 또는 수평면이다.
(a) , ℝ의 평면 (b) , ℝ의 평면 (c) , ℝ의 직선
그림 7
(b) 방정식 는 좌표가 5인 ℝ의 점 전체의 집합을 표현한다. 이 집합은 그림 7(b)에 나타낸 것과 같이 평면에 평행이고 평면에서 5단위 오른쪽에 있는 연직 평면 또는 연직면이다. ■
참고 방정식이 주어졌을 때, 그것이 ℝ의 곡선을 표현하는지 아니면 ℝ의 곡면을 표현하는지는 문맥으로부터 이해해야 한다. 보기 1에서 는 ℝ의 평면을 표현하지만, 이차원 해석 기하학을 다룬다면 는 ℝ의 직선을 표현한다. 그림 7의 (b)와 (c)를 보라. 일반적으로 상수 에 대해 는 평면에 평행인 평면을 표현하 고, 는 평면에 평행인 평면을 표현하며, 는 평면과 평 행인 평면을 표현한다. 그림 5에서 직육면체의 면은 세 좌표 평면 (평면), (평면), (평면) 및 세 평면 , , 로 이루어진다.
보기2 방정식 로 표현되는 ℝ의 곡면을 설명하고 그려라. 풀이 주어진 방정식은 좌표와 좌표가 서로 같은 ℝ의 점 전체의 집합, 곧 ∈ℝ∈ℝ을 표현한다. 이것은 연직 평면으로 평면 과 직선 , 에서 교차한다. 제 1 팔분 공간에 있는 이 평면의 부 분을 그림 8에 나타냈다. ■
평면에서 두 점 사이의 거리에 대한 친숙한 공식은 다음과 같은 삼차원 공 식으로 쉽게 확장된다.
그림 8 평면
용어 곡면 surface 수평 평면, 수평면 horizontal plane 연직 평면, 연직면 vertical plane
588 ▪ 제10장 벡터와 공간 기하학
삼차원에서의 거리 공식 두 점 과 사이의
거리 는 다음과 같다.
이 공식이 참인 이유를 확인하기 위해서, 그림 9와 같이 직육면체를 만들
자. 여기서 과 는 직육면체의 내부를 통해 마주보는 꼭짓점이고 직육면
체의 면들은 좌표 평면과 평행이다. 과 이 이 그
림에 나타낸 것과 같은 직육면체의 꼭짓점이면 다음이 성립한다.
, ,
두 삼각형 와 는 모두 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에
의해 다음이 성립한다.
,
이 두 식을 결합하면, 다음을 얻는다.
따라서 다음이 성립한다.
보기3 점 부터 점 까지의 거리는 다음과 같다.
■
보기4 반지름이 이고 중심이인 구면의 방정식을 찾아라.
풀이 정의에 의해 구면은 로부터의 거리가 인 점 전체의 집합이
다. (그림 10을 보라.) 그러므로 가 구면에 있기 위한 필요 충분 조건은
이다. 양변을 제곱하면 , 곧 다음을 얻는다.
■
그림 10
그림 9
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