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자연대수 e(Euler’s number) | 인공지능 및 컴퓨터 비전을 위한 수학 핵심 개념 노트(Mathematics for AI)

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시그 모이 드 함수 미분

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시그 모이 드 함수 미분

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[Calculus] Sigmoid 함수 미분하기

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시그모이드 함수 미분법 Sigmoid Differential 정리 – [머신러닝] 본문

시그모이드 함수 미분 알아야할 수학 개념

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[딥러닝] 시그모이드(Sigmoid)와 하이퍼볼릭 탄젠트(tanh)의 미분 본문

출처 httpstransparenttapetistorycomentry쌍곡선함수-미분-및-그래프 [투명테잎]

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Stay hungry, Stay foolish :: sigmoid 함수 미분 과정

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정의[편집]

성질[편집]

예시[편집]

응용[편집]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

시그모이드 함수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 — 시그모이드 함수 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전

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Summary of article content: Articles about [딥러닝수학] 지수함수, 시그모이드 함수의 미분 Updating …
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[Calculus] Sigmoid 함수 미분하기

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딥러닝에서 활성화 함수를 사용할 때 시그모이드(Sigmoid) 함수를 많이 사용한다. 역전파를 보내기 위해서는 해당 함수의 편미분값을 보내야하기에 이번 글에서는 시그모이드 함수를 수식적으로 미분해보자. 우리가 알고 있는 시그모이드 함수는 다음과 같다.

\[ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \]
\[ \begin{equation} \begin{split} \frac{df}{dt} = & -\frac{1}{t^2}, \ \ \ (t = 1+e^{-x}) \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot e^{-x} \\ \\ \Rightarrow &\ \frac{1 + e^{-x} -1}{ (1+e^{-x})(1+e^{-x})} \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{1+ e^{-x}} \cdot \frac{1}{(1+e^{-x})^2} \\ \\ \Rightarrow & \ \frac{1}{1+e^{-x}} \cdot (1 – \frac{1}{1+e^{-x}}) \\ \\ \Rightarrow & \ f(x) \cdot (1-f(x)) \end{split} \end{equation} \]
시그모이드의 함수의 미분은 다시 시그모이드의 함수로 구할 수 있는 꼴이 나오게 된다. 그럼 $x=0$ 일 때 시그모이드 함수의 기울기는 어떻게 되는지 구해보자.

\[ \begin{equation} \begin{split} f'(x) & = f(x)\cdot(1-f(x)) \\ \\ f'(0) & = f(0)\cdot(1-f(0)) \\ \\ & = \frac{1}{2} \cdot (1 – \frac{1}{2}) \\ \\ & = \frac{1}{4} \end{split} \end{equation} \]
$x=0$ 일때의 기울기는 $\frac{1}{4}$ 인 것을 확인해보았다. 그렇다면 시그모이드 함수의 미분값이 최대인 점은 어디일까? 우리는 $f'(x) = f(x)(1-f(x))$임을 알고 있다. $f(x)(1-f(x))$의 변곡점을 찾는다면 이때의 값이 최댓값이 될 것이다. 식이 간단하기에 수식을 계산하면 $x=0$ 일 경우 최댓값을 가지는 것을 확인할 수 있다.

이전 계산을 통해 $f(0) = \frac{1}{4}$이며, 1을 넘지 않는 것을 확인했다. 시그모이드 함수의 기울기는 0일때 최댓값을 가지며 좌우로 갈수록 기울기는 감소하게 된다. 그 말은 input 값이 커지거나 작아질수록 기울기가 줄어드는 것을 의미하며, 이는 바로 gradient vanishing을 야기한다는 것을 뜻한다. 역전파 알고리즘을 수행할 때 편미분 값을 이전 노드에 전달하게 되는데, 만약 input 값이 너무 커서 기울기가 0에 가깝다면 이전 노드에 전파를 전달하더라도 무의미하기 때문에 이와 같은 문제를 바로 gradient vanishing problem이라고 칭한다. 이러한 이유로 일부 연구에서는 활성화 함수를 시그모이드가 아닌 $\text{Tanh}(x)$ 혹은 $\text{ReLU}(x)$ 등을 사용하기도 하며, 일반적으로 성능이 더 좋다고 알려져있다.

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[딥러닝] 시그모이드(Sigmoid)와 하이퍼볼릭 탄젠트(tanh)의 미분

출처: http://taewan.kim/post/sigmoid_diff/

Sigmoid 함수 미분 정리

September 18, 2017 Machine Learning

Sigmoid 함수는 S자와 유사한 완만한 시그모이드 커브 형태를 보이는 함수입니다. Sigmoid는 대표적인 Logistic 함수입니다. Sigmoid 함수는 모든 실수 입력 값을 0보다 크고 1보다 작은 미분 가능한 수로 변환하는 특징을 갖습니다. 모든 입력에 대하여 sigmoid는 S와 같은 형태로 미분 가능한 0~1 사이의 값을 반환하기에 Logistic Classification과 같은 분류 문제의 가설과 비용 함수(Cost Function)1에 많이 사용됩니다. sigmoid의 반환 값은 확률형태이기 때문에 결과를 확률로 해석할 때 유용합니다.

딥러닝에서는 노드에 임계값을 넘을 때만 출력하는 활성 함수로도 이용됩니다. Sigmoid 함수는 마이너스 값을 0에 가깝게 표현하기 때문에 입력값이 최종 계층에서 미치는 영향이 적어지는 Vanishing gradient problem 이 발생합니다. 이 문제 때문에 현재 딥러닝 실무에서 사용되지는 않지만, 딥러닝 입문 과정에서 꼭 다루는 함수입니다.

Sigmoid 함수는 미분 결과가 간결하고 사용하기 쉬우므로 초기에 많이 사용되었습니다. 머신 러닝에서 Sigmoid함수는 가설과 학습에서 사용됩니다. 학습에 사용될 때는 Sigmoid를 미분한 결과가 사용됩니다. sigmoid는 미분 결과를 프로그래밍하기 쉽기에 인기가 더욱 높았습니다.

아래에서 Sigmoid 함수의 실체와 미분 유도 과정을 살펴보겠습니다.

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시그모이드 함수는 S자형 곡선 또는 시그모이드 곡선을 갖는 수학 함수이다. 시그모이드 함수의 예시로는 첫 번째 그림에 표시된 로지스틱 함수가 있으며 다음 수식으로 정의된다.

S ( x ) = 1 1 + e − x = e x e x + 1 . {\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}.}

다른 시그모이드 함수들은 예시 하위 문단에 제시되어있다 참고하기를 바란다.

시그모이드 함수는 실수 전체를 정의역으로 가지며, 반환값은 단조증가하는 것이 일반적이지만 단조감소할 수도 있다. 시그모이드 함수의 반환값(y축)은 흔히 0에서 1까지의 범위를 가진다. 또는 -1부터 1까지의 범위를 가지기도 한다.

여러 종류의 시그모이드 함수는 인공 뉴런의 활성화 함수로 사용되었다. 통계학에서도 로지스틱 분포, 정규 분포, 스튜던트 t 분포 등의 누적 분포 함수로 시그모이드 곡선이 자주 등장한다. 시그모이드 함수는 가역 함수로, 그 역은 로짓 함수다.

정의 [ 편집 ]
시그모이드 함수는 실함수로써 유계이고 미분가능하며, 모든 점에서 음이 아닌 미분값을 가지고 단 하나의 변곡점을 가진다.[1]
성질 [ 편집 ]
일반적으로 시그모이드함수는 단조함수이며 종 모양의 1차 미분 그래프를 가진다. 시그모이드 함수는 x → ± ∞ {\displaystyle x\rightarrow \pm \infty } 일 때, 한 쌍의 수평 점근선으로 수렴한다. 시그모이드 함수는 0보다 작은 값에서 볼록하고 0보다 큰 값에서 오목하다.

예시 [ 편집 ]
일부 시그모이드 함수에 대한 비교. 그림에서 모든 함수는 원점에서의 기울기가 1이 되도록 정규화됨.

f ( x ) = 1 1 + e − x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}

쌍곡탄젠트 (위의 로지스틱 함수를 평행이동하고 상수를 곱한 것과 같음)

f ( x ) = tanh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle f(x)=\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

f ( x ) = arctan ⁡ x {\displaystyle f(x)=\arctan x}

f ( x ) = erf ⁡ ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle f(x)=\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}

일부 대수함수, 예를 들어:

f ( x ) = x 1 + x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}

연속적이고 음이 아닌 “범프 모양”함수의 적분은 S자형이므로, 많은 일반적인 확률 분포에 대한 누적 분포 함수역시 S자형이다. 한 가지 예가 정규 분포의 누적 분포 함수와 관련된 오류 함수이다.

응용 [ 편집 ] [2] 밀 수확량과 토양 염분 사이의 관계를 모델링 한 역 시그모이드 곡선.

학습 곡선과 같은 여러 자연적인 현상은 작은 값에서 시작하여 시간이 지남에 따라 가속화하였다가 절정에 근접하는 모습을 보인다. 구체적인 수학적 모델이 없을 때 시그모이드 함수가 자주 사용된다.[3]
인공 신경망에서는 가끔 효율을 높이기 위해 매끈하지 않은 하드 시그모이드 함수들이 사용된다.

같이 보기 [ 편집 ]
참고 문헌 [ 편집 ]
↑ Han, Jun; Morag, Claudio (1995). 〈The influence of the sigmoid function parameters on the speed of backpropagation learning〉. Mira, José; Sandoval, Francisco. 《From Natural to Artificial Neural Computation》. Lecture Notes in Computer Science 930. 195–201쪽. doi:10.1007/3-540-59497-3_175. ISBN 978-3-540-59497-0 . ↑ Software to fit an S-curve to a data set [1] ↑ Gibbs, M.N. (Nov 2000). “Variational Gaussian process classifiers”. 《IEEE Transactions on Neural Networks》 11 (6): 1458–1464. doi:10.1109/72.883477. PMID 18249869.

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시그 모이 드 함수 미분

[Calculus] Sigmoid 함수 미분하기

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